Следовательно,

Если в последнее выражение подставить из уравнения (8.48а), то будет

получено уравнение (8.49).

Таким образом, безразлично, каким способом составлять изображение токов: результат будет одинаков.

Пример90. Для схемы рис. 8.29 составить изображение напряжения на зажимах се, если считать, что начальные условия нулевые (как в примере 89).

Решение. Изображение напряжения на зажимах се равно произведению изображения тока 1р) на операторное сопротивление конденсатора:

Ср pRL.C -f piR.RC + L,) -Ь -Ь R

§ 8.46. Изображение функции времени в виде отношения Щр)/Щр) двух полиномов постепенямр. Для токав примере 89, если принять Е{р) = Е/р, то

Щр)=Е{ \ -\-R2Cp); М{р) =[pR2L,C-\-p{R,R2CL,) -h/?, -h/?2lp-Если в том же примере принять e{t) = £sin(a)/ --ф), то

Е{Р)=Е---и

р - /О)

N{p)=EJ,\ -\-R2Cp); Щр) ={Р- /а))1р2/?2,С piR.RCL,) R, -h/?J.

Обозначим высшую степень оператора р в полиноме N{p) через п, а высшую степень р в полиноме М{р) - через т.

Часть корней уравнения М{р) =0 обусловлена характером изменения во времени возмущающей силы, воздействующей на систему; остальные корни обусловлены свойствами самой цепи, ее конфигурацией и значениями параметров.

Если исключить из рассмотрения сверхпроводящие электрические цепи, то во всех физически осуществимых электрических цепях при воздействии любых ЭДС всегда n<im. Лишь для физически Неосуществимых электрических цепей степень п может оказаться равной т. Пример цепи, для которой степень

п равна степени т, дан на рис. 8.30. Если j- -[

считать, что сопротивление проводов и внутреннее сопротивление источника нулевые, то

§ 8.47. Переход от изображения к функции времени. В § 8.45 указывалось, что вторым этапом расчета переходных процессов с помощью операторного метода является переход от изображения к функции времени. Эту операцию можно осуществить различными путями.

Первый путь состоит в применении формул соответствия между функциями оператора р и функциями времени /. Часть формул соответствия приведена в § 8.39. В научной литературе имеются специальные исследования, содержащие большое число формул соответствия (1518), охватывающих все возможные практические задачи. Формулами соответствия рекомендуется пользоваться в том случае, когда среди корней уравнения М{р) = О есть несколько одинаковых (кратные корни).

Второй путь состоит в применении так называемой формулы разложения. Формула разложения в § 8.49 выведена, исходя из предложения, что уравнение М{р) =0 не имеет кратных корней (при наличии кратных корней формула разложения записывается иначе - см. § 8.50).

Третий путь - непосредственное применение формулы обратного преобразования Лапласа с использованием теории вычетов (см. §8.50).

Формулой разложения широко пользуются на практике, и ее принято рассматривать как основную формулу для перехода от изображения к функции времени.

Рассмотрим два примера на применение формул соответствия, а затем - после рассмотрения вопроса о разложении сложной дроби на простые - перейдем к выводу формулы разложения.

Пример 91. В схеме рис. 8.31, о ток источника тока линейно нарастает во времени: j{t) = 2,5/ А (рис. 8.31, б); = 40 кОм, С = 2 мкФ. Определить закон изменения во времени тока п через резистор R.

Решение. Изображение тока /(/) равно 2,5/р (см. соотношение 12 § 8.39). Сопротивление параллельно соединенных R, С Л

Изображение тока через R

flip) =

RCp+ Г j{p)Z{p) 2,5

гдеа= l/(RC)= 12,5 с

R RC р\р 4 а)

R L

Согласно соотношению 8 § 8.39,

р\р + а) о iy(t) = 2,5(/ -0,08(1 - е-2-0] А.

Пример 92. В схеме рис. 8.31, в u{t) = 1 ООе В, где а = 0,5с"; = 2 Ом; L = :=:4 Гн. Найти i = /(/) и = /(/), а также значения i и и при / = 1 с.

Решение. Согласно соотношению 2 § 8.39, функции е~" соответствует изображение 1/(р + а). Следовательно,

а щр). Z{p)R + pL;

, , U{p) 100 100-1

Z(p) (р + o)(pL + /?) L(p + а)(р + = 25A/c;&=:y?/L = 0,5 = o;/(p)-=25-

L (p + a)2-

По соотношению 5 § 8.39- = e Поэтому /(/) = 25/e

Напряжение на L:

u=L = lOOe "•(1 - 0,5/). При / = I с / = 25- le~- = 15,15 A; ul = lOOe "•(1 ~ 0,5) = 30,3 B.

§ 8.48. Разложение сложной дроби на простые. Из курса математики известно, что дробь

Щх) <п + «n-i"~ + + а.х + ар (8.51)

М{х) - Ьх- + Ь ,х- + ... + + b,

при условии, что /г << m и полином М(х) = О не имеет кратных корней, может быть представлена в виде суммы простых дробей:

N{x) 1 1 1

М{х)- х-х.х-х-- ""х-х (8.52)

М{х) L х-х

Ае - корни уравнения М(х) = 0.

Для определения коэффициента A умножим обе части уравнения (8.52) на {х - х,). В результате получим

NO k = m (8.53)

х-.,) = Л,+(.-.,)Л,.