Рассмотрим выражение (8.53) при х-х. Правая часть уравнения равна Л,, а левая представляет собой неопределенность, так как множитель (х - л:,) при x-Xi равен нулю и знаменатель М(х) при X = Xi также равен нулю [х, есть корень уравнения М{х) = 0].

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой целью производную от числителя разделим на производную от знаменателя и найдем предел дроби:

(X - Xi)N{x) Щх) + (х - Xi)N{x) N{xi)

lim-rrr--= lim-

МИ x-x, Л1(х) MixiY

глеМ(х)-производйая от М(л:) по х М\х)-значение М(л:) при а:= = Xj, N(x) - значение N(x) при х - х.

Следовательно, из (8.53) при jc-jc, получаем уравнение * г

N(Xi)/M(xi)A,, (8.54)

Аналогично,

Таким образом.

Ai = N{Xi)/M{Xi). (8.55)

А, = N(x,)/M{x,). (8.56)

N{x) Af(xi) , Njx) 1 N{xJ 1 (8.57)

"Г »* .. \ .. "Г - T~

M{x) M(x,) X - jc, M\x2) X - X2 " x - x

= , (8-58]

M{x) Z M(x) XXfc-

Пример 93. Найти коэффициенты разложения дроби 1/(х -- 5х + 6). Решение. Корни уравнения M(x) = 0: -i = -2, Xg = -3j Л1(x) = 2x + 5; M(x,) = -2-2--5=+l; Л1(xg) = - I; Ы{х.=Ы{х = 1.

По формуле (8.56), ,

л, = ЛГ(;(,)/Л)(х) = 1/(+ I) = + I;

§ 8.49. Формула разложения. Переход от изображения к функции времени часто производят с помощью формулы J

ту Jr,., (8.59)

к = 1

которую называют формулой разложения.

Левая часть формулы является функцией р, правая часть - соответствующей ей функцией времени

Вывод формулы можно осуществить следующим образом. Пусть изображение какой-либо функции времени, например тока, I,(p)N{p)/M{p).

Для получения тока как функции времени i{t) представим сначала N{p)/M{p) в виде суммы простых дробей - разложим Щр)/М{р). С этой целью в формуле (8.58) заменим х на р:

М{р) Lm\p,)p-p,

k = 1

Перейдем от изображения к оригиналу. Оригиналом левой части является /(/). Оригинал правой части равен сумме оригиналов ее (влагаемых.

Учтем, что множители N{p/М{р у слагаемых суммы правой части (8.60) есть постоянные числа (не функции р\). Кроме того, функциями р в правой части являются только множители Г/(/з - р \ им соответствуют функции времени вида елсм. формулу (8.28)]. Поэтому

Переход от изображения (функции р) к оригиналу (функции t) с помощью формулы разложения (8.61) основан на том, что изобра-

. „ MPfe) 1

жение представлено в виде суммы простых дробей ,-, а

Щрк)р-Рк

liPk) у

оригиналами их являются показательные функции •

Число слагаемых -щ* равно числу корней уравнения

Щр) =0. Коэффициенты N{p/М\р можно сопоставить с постоянными интегрирования дифференциального уравнения (уравнений) цепи в классическом методе расчета.

Если среди корней уравнения М{р) ==0 есть нулевой корень [р =0), то ему в правой части уравнения (8.61) соответствует слага-

м М•22ое Л/(0)/Л1(0) представляет собой со-

тавляющую искомого тока (напряжения), обусловленную постоянными вынуждающими силами. Если постоянных вынуждающих /Ил в схеме нет, то iV(0)/M(0) =0.

Важно сделать некоторые замечания к формуле (8.61). 1- Формула разложения применима при любых начальных условиях и при любых практически встречающихся формах напряжения источника ЭДС или тока, воздействующего на схему.

2. Если начальные условия не нулевые, то в состав N{p) войдут внутренние ЭДС. .•::v.

3. Если уравнение М{р) =0 имеет комплексно-сопряженные корни, то слагаемые, соответствующие им в формуле (8.61), оказываются также комплексно-сопряженными и в сумме дают действительное слагаемое.

4. Если воздействующая на схему ЭДС синусоидальна:

£„sin(o)/ -f Ф) и изображение ЭДС взято в виде --, где комп-

лексная амплитуда = £е,то при использовании формулы разложения из правой части ее для перехода от комплекса к мгновенному значению следует взять коэффициент при / (взять мнимую часть). В соответствии с этим внутренние ЭДС, которые появляются в правой части формулы разложения при ненулевых начальных условиях в цепях с синусоидальной ЭДС должны быть умножены на коэффициент /.

Умножить внутренние ЭДС на / необходимо потому, что только в этом случае наличие этих ЭДС будет учтено при взятии мнимой части от правой части формулы разложения. В цепях с постоянной ЭДС внутренние ЭДС умножать на / не нужно.

5. Если воздействующее на схему напряжение синусоидально, то принужденная составляющая решения входит в число слагае-

нужденной составляющей в виде члена этой суммы, соответствующего корню р - /О), для сложных схем в большинстве случаев более громоздко, чем непосредственное вычисление ее с помощью символического метода. Поэтому для сложных схем переменного тока принужденную составляющую рекомендуется вычислять символическим методом.

С помощью формулы, подобной формуле (8.61), можно определять не только токи и напряжения, но и многие другие функци1 времени: заряд конденсатора, скорость перемещения какого-либо тела механической системы и т. п.

Пример 94. Определить юк i\{t) в схеме рис. 8.17 с помощью формулы разложения и сравнит ь с ре.зуль1 атом решения классическим методом (см. пример 80), если Е = 150 В; /? = /?] = = 50 Ом; С = 100 мкФ; ис{0) = 50 В.

Решение. Составим послеком мутационную операторную схему (рис. 8.32), имея в виду, что начальные условия ненулевые. Внутренняя ЭДС ис{0)/р позволяет учесть, что до коммутации конденсатор был заряжен до напряжения wc(0) током tioTOMy она нагфавлена встречно току /2(р). Узел 6*схемы заземлим. Потенциал уз-га / обозначим ц1{р) и определим ei о по методу узловых гготенциалов:

мых ---tk и определяется корнем р==/о). Вычисление при-

Мггимую, а недействительную часть из формулы разложения берут потому, ч"" заданная ЭДС £sin(o)/ -}- ф) ест ь мнимая часть комплекса fe (см. гл. 3).