Е 1 , «c(0)

По закону Ома для участка цепи с ЭДС,

О - ф,(р) + Е/р

/i(p) =

После преобразований

Uc(0) Р

Рис. 8.32

[Е - ис{ЩЩСр + Е /у(р) p{R,RCp + R, + R) ~ М{рУ

Уравнение М{р) = О имеет корни

пЬэтому

1+3 ,

/V(p,) = £= 150;

/V(p2) = (150-50). 50 • 100(-400)-10" + 150 = -50: М\р) = 2RRCp + + /?з; М (pj) = 100; М(р2) = -100.

Ток в схеме рис. 8.18

(-100)

что совпадает с результатом примера 80.

-О Пример 95. Найти i{t) в схеме рис. 8.19 путем применения формулы разложения Я сравнить рузультат с результатом решения той же задачи классическим методом \tu. пример 81).

Решение. Изображение синусоидальной ЭДС 127 sin (314/-50°) m-где £=127е-/«° В.

р-/О)

и,, В схеме ненулевые начальные условия:

/(Р) (%+Р)=ВД+(0) i(0 )=-25,35 А.

Так как действующая в схеме ЭДС синусоидальна и изображение ее взято в виде (п 1{Е - комплексная амплитуда), то в дальнейшем от правой части форму-

Ь! разложения следует взять коэффициент при мнимой части (см. п. 4 § 8.49), Поэтому умножим внутреннюю ЭДС Li(0) на /. После небольших преобразований найдем

Пр)-

£+/Lt(0)(p-/o)) Щр) " {p-j){R-\-pL) - М{рУ

Следовательно,

N{p)=E-\-iLimp-iio); M{p)=ip-iio){R2-\-pL).

Уравнение М {р)=0 имеет корни ,=/0)0- и Р2=-RjL-210с-, поэтому Af(pH2+P(P-/"«);(PiH2+3/=3,61e/6"20.

М(р2)=-3,61е/5б°20=3,61е-/23°40. Щ>=ХЧ1Ч.

yV(P2)=127e-4/(-210-/314)-25,35)=5,4-/46,4=47,le-°2».

ISZe-O") , 47,1е-/°2* т

i{t)=\m

3,61еб»20 3,61е-/23°*0 =35,2sin(o)/-106°20)+13,1 sin40°Ше А; 13,lsin40°16=8,45. Результат совпадает с результатом примера 81.

§ 8.50. Дополнения к операторному методу. 1. Для перехода от изображения Р{р)к функции времени f{t)может быть использовано обратное преобразование Лапласа:

V+/00 (а)

V-/оо

функция F(p) аналитична в области Re р7> v и стремится к нулю прир->- оо. При практическом использовании этой формулы интеграл по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменяют контурным интегралом, охватывающим все полюсы функции

Полюсами называют значения р, при которых F{p) обращается в бесконечность. В том случае, когда F{p)=N{p)/Щр), полюсами являются корни уравнения М{р)=0. В теории функций комплекш ного переменного доказывается, что правая часть формулы (б) раш на сумме вычетов (Res) подынтегральной функции во всех ее полюсах, т. е.

1 )Н

- £(p)edp= ResF{p)eP. \

Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, н1 которую уменьшается разделенный на 2я/ контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот по-

люс. Но вычет функции е в простом полюсе р равен -щ

Поэтому

Таким образом, используя обратное преобразование Лапласа, вывели формулу разложения (8.61).

2. Запишем формулу разложения при наличии кратных корней. Положим, что уравнение М(р)=0 имеет q простых корней (р,, -» р ), корень р кратности г и корень р кратности s. Тогда

М{р) Л MiPk)

ЩрЖр-РгГ"

M(p)

is-l

Пример 96. Найти оригинал

N{ptp-Psf

М{р)

Щр) L

Щр) p\p+a) Решение. Корню р=-а соответствует оригинал

корню р=0 второй кратности - оригинал

М{р)р=-а

p2(p + fl)J dp tP (p + g) - e

p + a

-1, -F

{P + af

Следовательно,

--i-= -+ 1 p2(p + a)~ fl2 «

R § 8.51. Переходная проводимость. В § 2.15 указывалось, что ток .влюбой ветви схемы может быть представлен в виде произведения напряжения U на входе схемы на собственную или взаимную проводимость g: i= Ug.

При переходных процессах это соотношение также имеет силу. Если на вход какой-либо цепи в момент = О включается постоянное напряжение U (ЭДС £), то ток / (/) в любой ветви этой схемы равен произведению постоянного напряжения V на проводимость Uit):

i{t)=Ug(t).

(8.62)

При переходном процессе проводимость является функцией времени, поэтому в скобках указывается время t\ g(t) называют