Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) ( 93 ) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (93)


t-x-йт

Рис. 8.36

§ 8.53. Интеграл Дюамеля. Познакомимся с третьим методом расчета переходных процессов в линейных электрических цепях - расчетом с помощью интеграла Дюамеля.

При использовании интеграла Дюамеля переменную, по которой производится интегрирование, обозначим т, а под i по-прежнему будем понимать тот момент времени, в который требуется найти ток в цепи. Пусть к цепи с нулевыми начальными условиями в момент времени / = О подключается напряжение и (т) (рис. 8.36).

Для того чтобы найти ток в цепи в момент времени заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжения и (0) и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени.

Напряжение «(0) в момент времени / вызовет в цепи ток w (0)Х

{t\ где g (t)-переходная проводимость. В момент времени т -f Ат(рис. 8.36) возникает скачок напряжения

Амлг- Ат - и (т) Ат. dT

Для того чтобы найти составляющую тока в момент времени t, вызываемую этим скачком напряжения Aw, необходимо и(т) Ат умножить на значение переходной проводимости с учетом времени действия скачка до момента времени /. Из рис. 8.36 видно, что это время равно t -т - Ат. Следовательно, приращение тока от этого скачка составляет и{т) g (t -т - Ат) Ат.

Полный момент времени t получим, если просуммируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току u{0)g{ t): i{t) =u(0)g{t) +2w(t) g(/ - t-At) At.

Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно, что ступенчатая кривая тем лучще заменяет плавную кривую, чем больще число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени Ат на бесконечно малый dT и перейдем от суммы к интегралу:

i{t)=u{0)g(t) -\-\ u{T)git-i)6T. (8.63)



Формулу (8.63) называют интегралом Дюамеля.

С помощью интеграла Дюамеля можно найти не только ток, но и любую другую физическую величину, например напряжение. В этом случае в формуле вместо переходной проводимости g{t) будет входить переходная функция h { t ), если на входе цепи действует источник ЭДС (напряжения), и переходное сопротивление R { t если на входе цепи действует источник тока.

§ 8.54. Последовательность расчета с помощью интеграла Дюамеля. Расчет с помощью интеграла Дюамеля проводят в четыре этапа:

1) определение переходной проводимости git) [переходной функции h{t)] для исследуемой цепи;

2) нахождение ( - т) [hit - т)]. С этой целью в формуле для (/)[/г(/)] заменяют / на (/-т);

3) определение и{х). Для этого находят производную от заданного напряжения и { t ) по времени t и в полученном выражении заменяют t на т;

4) подстановка найденных на этапах 1, 2, 3 функций в формулу (8.63), интегрирование по переменной т и подстановка пределов.

Пример 101. Найти ii = fit) и «2 = fit) при замыкании ключа из схеме рис. 8.37, о.

Напряжение источника ЭДС u{t) = 100 (1 - е~")В; а = 0,25 с~; R = 0,5 Ом; U = = 1 Гн;М = 0,5 Гн.

Решение. Переходная проводимость цепи, состоящей из последовательно

включенных R н L, git) = "(1 - е"~*), где

b = R/L, git-x) = j[\-Первое слагаемое в формуле (8.63) выпадает, так как и (0) = 0. При этом

и it) = - 100 (1 - е-") = ЮОае-"; и (т) = 100а е

-ах.

>1


и(0)

О tj X



Ч (О = ( и (X) g{t~x)Ax = \ е- [1 - е-*<-)1 dx.

При интегрировании учитываем, что е~"* от х не зависит:

t, (О = 200 (1 + е- - 2е-2) А.

Напряжение на зажимах вторичной обмотки

«2 {/) = Af = 50 (е-о.25< е-о.5<) в.

§ 8.55. Применение интеграла Дюамеля при сложной форме напряжения. Пусть напряжение u{t) изменяется во времени по сложному закону, например в соответствии с рис. 8.37, б. Начальное напряжение равно и (0). В интервале от / = О до = напряжение плавно растет, и закон его изменения w, [t). В момент / = оно меняется скачком от до w, а затем снова плавно растет, но уже по другому закону иЩо времени. При t = /2 напряжение скачком уменьшается от до нуля.

Требуется найти ток в каждом из трех интервалов времени. Под первым интервалом будем понимать интервал времени от / = О до / = (не включая скачка напряжения от U2 до щ)\ под вторым - от до 2, включая скачок от до w,, но не включая скачок от до 0; под третьим - при />/2, включая скачок от до 0.

Интегрирование по-прежнему проводим по т, понимая под t фиксированный момент времени, в который требуется найти ток. На основании принципа наложения ток в любой момент времени t определится как сумма токов от всех напряжений, воздействовавших на цепь до момента t.

В первый интервал времени

i{t)=u{0)g{t)A w,(t)(/-t) dT.

Bo второй интервал времени

i{t)=u{0)g{t)+\ U\{l)g{t~l)dx +

Ae слагаемое (w, - g{t -/,) обусловлено скачком напряжения «а и в момент времени



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) ( 93 ) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114)