в третий интервал времени

i (t) = u{0)g(t) + \ W, (t) g (/ - X) dx +

+ (Ub - «.) S{t-t,) + \ u\ (T) g - T) dr +

+ (0 - «.) u(t - y.

Пример 102. В электрической цепи рис. 8.37, а в момент времени / = О замыкается ключ и напряжение u{t) изменяется в соответствии с рис. 8.37, б; w(0) = 50 В. В первый интервал времени от / = О до/ = /i = 4с напряжение щ {t)= 150-100 е""", где а == 0,25 с~ . Во второй интервал времени от t = ti = 4 с до / = /2 = 6 с М2 (/)

=50 + 100 е~"\ где с = 0,4 с~. Параметры схемы рис. 8.37, а /? = 0,5 Ом; Li = = 1 Гн (вторичная цепь разомкнута).

Найти закон изменения тока ij во времени для обоих интервалов времени, а также значения тока /, при /, равном 2 и 5 с.

Решение.В соответствии с § 8.54 переходная проводимость

git) = - е-); b = R/L = 0,5с-; git - т) = -[1 - е-*(-)].

В первый интервал времени «(т) = 100 ае". Поэтому

hit) = uiO)git) -f 5 (т) (/ - т) dT = о

-=100 (1 - e-O0 200 (1 + e- - 2e-).

При/ = 2с/1 = 100(1 -e~) +200(1 + e~* - 2 e-) = 94,9 A. H

Bo второй интервал времени (включая скачок Uf~ = 36,9 В) о

4(0=«(0)g(/)+ \ и\ (т) git-x) dx МЧ - Ч) git- ti)+ \ «2 () git-)

м2(х)= - lOOce-ei; п

/ (0=100(1 - е--)+200(0,632 - 1,718е--)+11 - е--Ц - )Н

(6 -c)R с При / = 5 с /, = 204,32 А.

§ 8.56. Сравнение различных методов расчета переходных процессов. Классический и операторный методы расчета теоретически можно применять для решения задач любой сложности. Каким из них пользоваться, во многом зависит от навыка и привычки.

Однако классический метод более физически прозрачен, чем операторный, в котором решение уравнений во многом формализовано.

Если при сравнении методов исходить из объема вычислительной работы, то решение уравнений первого, второго, а иногда и третьего порядков для источников постоянной (синусоидальной) ЭДС или тока целесообразно проводить классическим методом, а решение уравнений более высоких порядков - операторным. Объясняется это тем, что чем выше порядок характеристического уравнения, тем более громоздкой и трудоемкой оказывается операция нахождения постоянных интегрирования в классическом методе. Операторный метод имеет перед классическим явное преимущество при решении задач, в которых определение принужденной компоненты искомой величины оказывается затруднительным вследствие сложного характера вынуждающей силы, а также при решении уравнений в частных производных (см. § 12.13- 12.15). Если воздействующее напряжение изменяется во времени, например линейно или в виде всплеска одной или нескольких экспонент, рекомендуется применять операторный метод или интеграл Дюамеля. Но основной областью применения интеграла Дюамеля являются случаи, когда напряжение изменяется по сложному закону во времени, например при наличии скачков напряжения (см. § 8.55), или когда переходная проводимость (О и (или) воздействующее на схему напряжение заданы графически (в последнем случае интеграл Дюамеля берется путем численного интегрирования).

Рассматриваемый в§8.66 метод расчета переходных процессов, получивший название метода пространства состояний, используется главным образом, когда расчет осуществляется с применением ЭВМ. Для ручного счета этот метод громоздок.

Классический и операторный метод, а также метод пространства состояний в аналитической форме и интеграл Дюамеля имеет общий недостаток: необходимость определения всех корней характеристического уравнения, что для уравнений высоких степеней (например, 5,6,7-й,...)требует много времени. В этих случаях может быть рекомендовано числовое решение на ЭВМ уравнений, составленных по методу пространства состояний; может быть применен и спектральный метод в том виде, в каком он рассмотрен, например, в гл. 9. Кроме того, в этих случаях используют моделирующие установки.

§8.57. Дифференцирование электрическим путем. Для четырехполюсников рис. 8.38, а, б при определенных условиях выходное Напряжение (О пропорционально производной от входного на-

»0* 291

I С I R

o-i.

0-4-

Рис. 8.38

I

пряжения Wi (t\ T. e. (Odw, (/)/d/. Схему рис. 8.38, a применяют чаще схемы рис. 8.38, б, так как при практическом осуществлении она обладает меньшими габаритами, массой и более удобна при регулировке.

Если u(t) = (/?), то dw, (t) I At = pUi(p). Отсюда следует, что

четырехполюсник осуществляет дифференцирование, если для не-

го Up)pUi{p). Для схемы рис. 8.38, а ир)= Uip) . Чтобы

схема осуществила дифференцирование, необходимо выполнить условие С/?1<<<1, тогда UJp) RCp (р). Для синусоидального процесса заменим р на /о) и тогда схема рис. 8.38, а будет выполнят] свои функции, если со/?С <3<1. i

Аналогично, доказывается, что для схемы рис. 8.38, б необходимо выполнить условие ((xiL/R) <<С\. Если w,(/) - несинусоидальная периодическая функция, то эти условия должны выполняться для наивысшей частоты функции u{t). q

При дифференцировании импульсных воздействий длительностью параметры схем рис. 8.38, а, б должны удовлетворять усло ВИЯМ RC <<с:и и L/R «.t. Эти условия получим из двух предыдущих, если в первом приближении будем считать, что поступление на вход четырехполюсника импульса длительностью соответствует воздействию на вход одной полуволны синусоиды частотой ш = 2л/ (2/J = n/t,.

§ 8.58. Интегрирование электрическим путем. Для четырехполюсников рис. 8.38, в, г при определенных условиях выходное напряжение «2(0- J