длительность паузы также т (рис. 8.40, е). Используя третий способ в сочетании теоремой запаздывания (см. § 8.40), определить ток в цепи. Решение. Найдем изображение напряжения:

t/(p) =:-(1-е~+е-2р-е-Р+...).

Выражение в скобках представляет собой бесконечную геометрическую про-

- е~\ Сумма членов ее равна--Изображение

грессию со знаменателем тока

Применим формулу разложения. Корни знаменателя: р=0-р" =-R/ L; тр, = (flfc+/7?fc)T = /л(2Л+1) (-оо<А;<оо). д

Группируя член k=0 с k=-1, член й=1 с членом k=-2 и т. д., получим

i{t) =

°° sin[n(2/fe+l)--(p2fe+il

/?(1+е ) =0 Т2"

(2fe+l)nL

Ък+\ = arctg---

§ 8.61. Дельта-функция, единичная функция и их свойства. Импульсная переходная проводимость. Дельта-функцией б(/) или единичным импульсом (рис. 8.41, а) называют прямоугольный импульс амплитудой 1 / Лх и длительностью Лт при Единичным назы-

вают потому, что площадь его равна единице: -Лт = 1. Размер-

ность 6(t)-c

Единичной функцией 1(0 (рис. 8.41, б) называют функцию, равную единице при и равную нулю при t<iO. Единичная функция 1(-0(рис. 8.41, в) равна нулю при и единице при <;0. Функции l(t) и 1(-t) имеют нулевую размерность. Свойства 6{t):

1) из определения 6{t) следует, что

1 t>0;

О <0;

U-t)

Рис. 8.41

.H-t)

2) производная функции l() равна б-функции:

d\(t)/dt = m, 3)б-функция обладает фильтрующим действием:

fmt-t,) = f{tMt-i,)

4) изображение по Лапласу б-функции равно 1:

\ б(/)е-М = 1, а &(t-Q =е-о

на основании теоремы смещения.

Единичные функции 1(0 и 1(-О также обладают фильтрующим действием. Умножение произвольной функции /(/) на 1(/) обращает произведение f{t)l{t) в нуль при t<cO. Аналогично,

Импульсное (игольчатое) напряжение или ток в виде б-функции единичной площади записывают так: б()-1. Здесь единица имеет размерность В • с ил и А • с соответственно.

В соответствии с рис. 8.41, а импульсное напряжение единичной площади, равное б()-1 В-с, можно представить как сумму двух прямоугольных импульсов: импульса напряжения 1 / Лх, вступающего в действие при =0, и импульса - (1 / Лт), вступающего в действие при t = Лх.

При >Лт и нулевых начальных условиях ток на входе цепи при воздействии на нее напряжения в виде б-функции

{t)=~[g{t)-g{t-x)].

Разложив (-Лх) в ряд Тейлора по степеням Лт и учитывая %алость Лт, получим

= [s(0-g()+ATg(01 = 1 -AgW = 8V)-1.

где g\t) = -импульсная переходная проводимость. Для моментов времени >Лт она численно равна току в цепи при воздействии на цепь напряжения в виде б-функции.

Аналогично, h{i) = - импульсная переходная функция.

ля >Лт-0 она численно равна напряжению на выходе четырехполюсника при воздействии на его вход импульса напряжения (0*1 В-с. В интервале времени от 0 до (во время действия импульса) «2(0 = /г(0- 1+/г(0+)б(0 = h(t).

Наряду с понятиями "переходная проводимость" g{t) и "им-

пульсная переходная проводимость" g{t) применяют дуальные им понятия: переходное сопротивление r{t) и импульсное переходное сопротивление rt). Переходное сопротивление rJt) численно равно напряжению на входе цепи ubit) при воздействии на ее вход единичного тока:

= 4A)rJt).

Импульсное переходное сопротивление rii) численно равно напряжению на входе цепи ubit), после того как на ее вход воздействовал импульс тока в виде б-функции единичной площади:

. i,,(0 = 6(0-l(A.c).rU(0.

Величины r{t) и rt) могут быть входными и взаимными, однако g{t)iiR{t) не являются взаимно обратными величинами; ( определяется при питании схемы от источника ЭДС, а R{t) - при питании схемы от источника тока.

Подчеркнем, что в литературе по переходным процессам в зависимости от рассматриваемого вопроса под одним и тем же названием - импульсная переходная функция - понимают либо функцию h(t), либо h%t). Между этими функциями имеется зависимость

h\t) характеризует реакцию четырехполюсника (его выходное напряжение) после окончания воздействия на его вход единичным импульсом напряжения 1 • b{t) В • с, а h\t) - напряжение на выходе четырехполюсника и во время действия импульса и после окончания.

Аналогичные соотнощения существуют между двумя импульсными переходными проводимостями

и между двумя импульсными переходными сопротивлениями

при воздействии на вход схемы единичным импульсом тока. С помощью h\t) интеграл Дюамеля запишется так:

"2(0 = \ «W h\t-T)dx. о

Здесь {t-T) = h{0) 6(0 + Л ( - т).

Формулу интеграла Дюамеля в математических работах называют формулой свертки двух функций в данном случае функций u{t) и