§8.62. Определение h{t) и /г*(/) через К{р). Как упоминалось, при воздействии на вход четырехполюсника единичного напряжения д)= 1(0 напряжение на выходе его W2(0=0- Если это положение

записать относительно изображений, учитывая, что l(t) = ~ и обозначив изображение h{t) через Я(/?), то Н{р)=К{р)/р. Отсюда

К(р) = рН(р). (8.64)

Определим теперь h{t) через К{р). Поскольку h(t)= Н(р), а Щр) определено предыдущей строкой, то

ft(/) = (8.65)

При воздействии на вход четырехполюсника единичным импульсом напряжения м,(0 = 1 -6(0 = 1 = напряжение на выходе его

ut) = h\t)=U,(p)K(p)=\K{pl

таким образом

т=к(р). (8.66)

Пример 105. Запишем И{1). h (f), h (/) для схемы рис. 8.38, а: А(0 = 1 .е-h{t) =

§8.63. Метод пространства состояний. Метод пространства состояний (метод переменных состояния) представляет собой упорядоченный способ нахождения состояния системы в функции времени, использующий матричный метод рещения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в форме Кощи (в нормальной форме). Применительно к электрическим цепям под переменными состояния понимают величины, определяющие энергетическое состояние цепи, т. е. токи через индуктивные элементы и напряжения на конденсаторах. Значения этих величин полагаем известными к началу процесса. Переменные состояния в обобщенном смысле назовем х. Так как это некоторые функции времени, то их можно обозначить x{t).

Пусть в системе п переменных состояния. Матрицу-столбец переменных состояния в «-мерном пространстве состояний обозна-

чим \х\ =

, т выходных величин (токи, напряжения) обозначим у.

матрицу-столбец выходных величин [у] = Источники воздействий (источники ЭДС

А тока) будем имено-

вать Z. Матрица-столбец источников воздействий \z\ =

Для электрических цепей можно составить матричньге уравнения вида (программа решения на ЭВМ уравнения (8.67) приведена Б [23]).

[xl = [M][]-b[iV][4 (8.67)

[y]-[P]UmQ][zl (8.68)

где [М\[N\ [Р\ [Q\ - некоторые матрицы, определяемые структурой цепи и значениями ее параметров.

На основании принципа наложения решение (8.67)

[x(t)] = ell [Jt(0)]+5 elH-x) 1Щ [2(T)]dT, (8.69)

где [x{0)] - матрица начальных значений x.

Первое слагаемое в формуле (8.69) описывает свободные процессы в системе, второе - принужденные и свободные при нулевом исходном состоянии [вывод формулы (8.69) см. в конце параграфа].

Из (8.68) и (8.69) находим

W)] = [P]efJ lx(0)] + \ [P]efH-x)[ДГ][ф)] dx -f [Q] [z(t)]. (8.70)

Поясним формулу (8.69) на простом примере. Ток в схеме рис. 8.42 до коммутации был i{0 ) = E/{2R). Уравнение состояния для этой схемы di/dt - - (R/L)i -f (E/L), т. е.

[х] = d d, [М] = - R/L- [Щ = l/L; [z] = Е\

2R Е

---е

R 2R

Матричную функцию е в формуле (8.69) вычисляют по формуле (теореме) Сильвестра [13]:

efl = eV[4J+e2H2l-h--- -heV[4J, (8.71)

Иг1 =

/= 1

(8.72)

(К - V

- собственные значения (характеристические числа) квадратной матрицы [М], т. е. корни уравнения

dei ([М] - = 0. (8.73)

Из уравнения (8.73) следует, что уравнение относительно к составляют, приравнивая нулю определитель матрицы [М], в котором все элементы этой матрицы aJm = !,...,«), расположенные по главной диагонали, заменяют на элементы а - X.

Характеристические числа X - это не что иное, как корни характеристического уравнения послекоммутационной схемы. Запись решения в виде ряда (8.71) предполагает, что все характеристические числа различны (нет кратных корней). Если же среди корней уравнения det([Al] - Х[ 1 ]) = О будет кратный корень кратности S, то составляющая е, обусловленная этим корнем, имеет вид

(8.74)

где Лё/(Х[1] - [М])-присоединенная матрица к матрице Я[1] - [М]. В ней все элементы а,у заменены на алгебраические дополнения, а затем проведено транспонирование. Составляющие решения по формуле (8.74) соответствуют части решения по формуле разложения (см. § 8.50), учитывающей кратные корни. При машинном счете функцию е подсчитывают разложением в ряд:

е1«1 = 1Ц-1М)< + 1 + ....

Пример 106. Методом пространства состояний исследовать переходный процесс в схеме рис. 8.43, а. До коммутации был установившийся режим; £ = 4 В, / = 1 А; = 20m;L= 1 Гн;С = 1 Ф.