Рис. 8.43

Решение. Обозначим токи и напряжения в соответствии с рис. 8.43, а. До коммутации

22/?

в качестве переменных состояний выбираем ток/, и напряжение на конденсаторе Uq.

Известно несколько способов составления уравнений состояния. Рассмотрим наиболее целесообразный, основанный на сведении послекоммутационной схемы к резистивной с источниками ЭДС и тока. С этой целью индуктивные элементы в послекоммутационной схеме заменяем на источники тока, которые доставляют ток в том же направлении, что и в исходной схеме (в рассматриваемом примере L заменяем на источник тока /, с напряжением на нем LAiJAt), а конденсатор С - на

источник ЭДС, причем в соответствии с теоремой конденсации ЭДС этого источника должна быть направлена встречно току в ветви с конденсатором, т. е. встречно напряжению Uq на конденсаторе (в рассматриваемом примере конденсатор С с напряжением на нем заменен на источник ЭДС £j == Uq).

В результате схема окажется без индуктивных и емкостных элементов (чисто резистивной), но с дополнительными источниками тока и ЭДС (рис. 8.43, б).

В полученной резистивной схеме один из узлов заземлим. Составим уравнения по методу узловых потенциалов и определим потенциалы незаземленных узлов. В рассматриваемом примере не заземлен всего один узел а. Поэтому

Фа==-Щ-= (1, + /)/? + %-

По известным потенциалам узлов рассчитаем напряжения на источниках тока L/dif/di, эквивалентирующих индуктивные элементы Lf, и токи = CduQ/di

через источники ЭДС, эквивалентирующие емкостные элементы емкостью С. Для первой ветви схемы рис. 8.43, б

Фа = (М -\-J)R-\-Uc = E~iiR~L

Отсюда

2R .

Ток второй ветви можно определить по первому закону Кирхгофа или по закону Ома для участка цепи с источником ЭДС:

12= С

d«c Фа - «С (1 + f)R + «С ~ «С

i, + /.

Следовательно, dwc/d/=(/,/С) -\-{J/C). Таким образом, уравнения переменных состояния для послекоммутационной схемы рис, g 43, а таковы:

2R . 1

или [x] == [M] [x] -I- [Л] [2], где [x\ =

dt due

; [M] =

2R I L ~ L

- 4-1 1 0

L L

« -c

[х{Щ =

0,5 3

Составим уравнение для определения характеристических чисел

-4- Х- 1

det([M]-Ml]) =

1- X

= 0.

Таким образом, -- 4Х -- 1 = 0; = - 0,27; = - 3,73 с По формуле

(8.72),

И,1 =

-4-1 1 О

По формуле (8.69),

1 - 2 ~ 3,46

[М1-Ц1]

+ 3,73

1 О О I

- 0,078 - 0,289 0,289 1,077

2 ~ 1

1,077 0,289 - 0,289 - 0,078

е-0.27/[ е-3.73[Л21

0,5 3

+ JJe- - [Л,] + е- 3.73(/ - г) fjj

I -2 О I

Выполнив подсчеты, получим

I, = 1 + 0.75е-*2 -I- 0,75е-А; «с = 6 - 2.8е- 0-27 о,2е- -з в.

Если за выходную величину у принять напряжение Udf между точками du f,ro

+ [10]

Поясним переход от (8.67) к (8.69).

Решение неоднородного уравнения (8.67) можно получить в виде суммы полного решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Полное решение однородного уравнения

[x] = [M][x]лляtx, (8.75)

где т - постоянная величина, найдем по аналогии с решением скалярного дифференциального уравнения х = тх, х = е" ~ x{i), в виде

KWI = el*l<-){.„Ml. (8.76)

Подставив (8.76) в (8.75), убедимся в справедливости решения однородного уравнения (8.75). Функцию е обозначим [ц){()\, а е = [ф(/ - т)]. Так как

efJ = [ 11 + [М]/ + . .,0 [(0)] = [ 1 ].

В соответствии с методом вариации произвольных постоянных частное решение неоднородного уравнения представим в виде \хч{1)] = [ф(/ - т)1 ["(01 [()]-Общее решение

т\=- т)] ш\ + [Ф(/ - т)] [«(01 [х{х)\=ш - X)] [ 1 ] + [«(01 ш\=

= \{t - x)\{R{t)\

где R{t) нужно определить. Подставим

[л:(01 = [Ф(/- X)] [/?(01 (8.77)

в уравнение (8.67):

[[Ф( - т)1 - М1 [ф( - x)]J \R{t)\ + [ф(/ - т)] [R{t)\ = \Щ [г]. (8.78)

Поскольку [ф(/ - х)] есть матрица, столбцы которой являются решением уравнения (8.75), то первый член выражения (8.78) - нулевая матрица. Следовательно,

ЩЩ = {ф-)Г\Щ\г\. (8-79)

Проинтегрируем (8.79) от т до t:

\R{t)\ - [ОД] = 5[Ф(Я - х)Г\Щ[гЩ. (8.80)

Из уравнений (8.77) и (8.80) следует

[ф(/ - х)Г МО) = [ф(0)Г[х(х)] -f 5[ф(Я - х)Г1Л][г(Я)] АК

(8.81)

но [ф(0) = [ I ]. Умножая (8.8Ь) слева на [ф(/ - х)] и учитывая, что

1ф(/ - х)1 1ф(Я - х)]- = ef1 i-)-\m~)\MW-y) получим

[401 = [Ф( - х)] Ш\ -f \ [ф(/ - 1)\ \Щ ШЩ. (8.82)