Рис. 8.44

Полагая в (8.82) т = О и заменяя затем переменную % на т, получим формулу (8.69).

§ 8.64. Дополняющие двухполюсники. Два двухполюсника, содержащие элементы L, С, называют дополняющими, если входное сопротивление при их последовательном (параллельном) соединении оказывается чисто активным, не зависящим от комплексной частоты р. Так, двухполюсник из параллельно соединенных L и и двухполюсник из параллельно соединенных С и 7?, (рис. 8.44, а) являются дополняющими при их последовательном соединении и выполнении условия R= RR = (LjC. Двухполюсники /?2, С и /?,, L при их параллельном соединении (рис. 8.44, б) являются дополняющими при том же условии.

Элементы двух дополняющих двухполюсников взаимно дуальны. Элементам Cj, /?, одного соответствуют такие дуальные элементы Cg, Z.2, /?2 дополняющего, что произведение сопротивлений двух взаимно дуальных элементов должно быть равно R, где R - произвольное активное сопротивление.

Последовательное соединение L, и С, в исходном двухполюснике заменяют на параллельное соединение Cc, = L/R и LCR в дополняющем. Параллельное соединение С, и L, в исходном двухполюснике заменяют на последовательное соединение = CR и

= L/R в дополняющем.

§ 8.65. Системные функции и понятие о видах чувствительности.

Системные функции Н{р) - это обобщенное название функций, характеризующих четырехполюсник. Ими могут быть, например, передаточная функция напряжения U2{p)/ U{p), передаточная функция тока /2(/?) ,(/7) и т. п. Если какой-либо параметр {R, L, С) в схеме четырехполюсника изменяется, то изменяются модуль и аргумент системной функции и можно говорить о чувствительности системной функции к изменению этого параметра.

Под классической чувствительностью понимают отнощение относительного изменения функции Mi{p)/Н{р) к относительному Изменению параметра Ах/х

> = lim

(АН Ах

X 6Н{р) Н{р) dx

применительно к установившемуся синусоидальному режиму рассматривают чувствительность модуля и чувствительность аргумента H{j(u).

Для резонансных систем с высокой добротностью пользуются понятием корневой чувствительности, имея в виду чувствительность Н{р) к изменению положения нуля или полюса этой функции, находящегося вблизи мнимой оси плоскости комплексной частоты. Понятие чувствительности используют главным образом в задачах синтеза. Электрические цепи стремятся сформировать так, чтобы они были по возможности малочувствительны к изменению параметра. Если И{р) зависит от многих параметров и все они могут изменяться, то верхней границей возможной ошибки считают сумму модулей чувствительностей по всем параметрам. При определении классической чувствительности можно воспользоваться теоремой вариаций (см. § 2.19) и теоремой Теллегена (см. § 3.43).

§8.66. Обобщенные функции и их применение к расчету переходных процессов. Обобщенными функциями (ОФ) называют функции времени f{t\ которые терпят разрыв, например, при = 0. Значение функции при t < О обозначим/ (0, при t > Ofj{t) (рис. 8.41, г). Имея в виду фильтрующее свойство единичных функций, можно записать

f{t}=f-{t)4-t) +М01(0.

В общем случае f{t) может содержать также б-функцию и ее производные. Производная от f{t)

= / (/)!(-1) + fmi) + ти+Ф) - / (0)].

Используя ОФ, можно решать задачи на переходные процессы, о которых говорилось в § 8.28, а также задачи на импульсные воздействия. В этом случае необходимо составить уравнения для послекоммутационной схемы, выразить токи, напряжения и их производные через ОФ, и воспользовавшись фильтрующим свойством 1( - t), \{t) и 6(0» приравнять в этих уравнениях коэффициенты, содержащие только 1( -1\только \{t) и только b{t), и затем решить их совместно.

Пример 107. Путем использования обобщенных функций решить задачу примера 86 (см. рис. 8.24).

Решение. В уравнении для послекоммутационной схемы

d«ci duc2

At "2 fit

+ «С1 =

подставим

«С1 = «с1-(01(- О + «с1+(01(0; "с2 = «с2-(01(- о + "с2+(01(0;

"CI = «ci-(0»(-0 + "сч(01(0 + 6(01«ci(o+) - "ci(O-)];

"C2 = «C2-(01(- 0 + «C2+(01(0 + 6(0l«C2(0+) - "C2(0 )l;

E = E\{- t) + E\(t). Коэффициенты при 1(-О. 1 (О и 6(0дают три уравнения:

R 1С,«с,+(0 + С2«с2 (01 + «с1-(0 = (б)

1С,«с,+(0 + С2«с2+(01 + «с1+(0 = (в)

«ci(0+) (С, + Сз) = Ci«c,(0 ) + C2Uc2(0 ). (г)

Из (б) Uci-(0 = . из (г) Uf.,{0 j ) = С,£/(С, + Cg); далее решаем (в) классическим или операторным методом, имея в виду, что «с1+(0 = «C2+(0- В результате получаем тот же ответ, что и в примере 86.

§8.67. Интеграл Дюамеля для огибающей. Положим, что на вход четырехполюсника, имеющего переходную функцию Л(/), воздействует синусоидальное напряжение единичной амплитуды Uj(/) = Isinio/ = Ime" Тогда, используя формулу интеграла Дюамеля, определим: напряжение на выходе четырехполюсника:

«2 {t)=ln\ [[h{0) + 5 Л(т)е- f* dx] е} = Im{a(w, О е*»}. (а )

Здесь

а(о), t) = h{0) -\- 5 Л(х) е- dx = m((o, t) + /«(о), t) = (w, /) e \ (6)

где a{a), /) - огибающая выходного напряжения при воздействии синусоидального Воздействуем на вход четырехполюсника амплитудно-модулированным синусоидальным напряжением ui{t)= lm\Um{t)е*

и определим

«2 (О = Im {[hiO)UJt) + \ h\x)VJ t - X) е- i4x\ е/}.

Учтем, что 1 = Л(х)е- = а(а), х) и Л(0) = а(а), 0). Тогда

М2(0=1т{Л(а),0е"}, (в)

Л(а), О = а(а). 0)(/J/) -- JaCa), х)( - x)dx; (г)

- огибающая выходного напряжения. Формулу (г) называют интегралом Дюамеля для огибающей, она позволяет, не вдаваясь в мелкие детали, выявить **акроструктуру переходного процесса.