После упрощения и деления уравнения на dx получим

~ dx-dt- (11.1)

По первому закону Кирхгофа,

i = di + t 4- -Т-дх.

Ток df (рис. 11.2) равен сумме токов, проходящих через проводимость Gfdx и емкость Codjc:

di = (M-f ldx) GqAx 4- Codx( и 4- Yxx). Пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости. Тогда

UI = uGqAx -\- CqAx-.

Подставим (11.3) в (11.2), упростим и поделим уравнение на djc:

di г r (11-4)

Уравнения (11.1) и (11.4) являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами.

§ П.З. Решение уравнений линии с распределенными параметрами при установившемся синусоидальном процессе. Пусть напряжение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону во времени. Воспользуемся символическим методом.

Изображение тока

/ = /,sin(o)-ф,)-/e/-

где / = /еМ / l2.

Изображение напряжения

где и = f/efu/A.

Комплексы и и I являются функциями расстояния х, но не являются функциями времени. Множитель е** есть функция времени не зависящая от х.

Представление изображений тока и напряжения в виде произведения двух множителей, из которых один является функцией только X, а другой - функцией только /, дает возможность перейти от уравнений в частных производных [уравнений (11.1) и (11.4)] к уравнениям в простых производных. Действительно,

дх dx

(11.5)

di дх

(11.6)

Подставим (11.5) и (11.6) в(11.1) и (11.4), сократив в полученных уравнениях множитель е":

- dU/dx = zJ; (11.7)

- di/dx = YqU, (11.8)

Rq + /o)Lo; Gq + /о)Со.

(11.9) (11.10)

Решим систему уравнений (11.7) и (11.8) относительно U. С этой целью продифференцируем (11.7) по х:

dft/ d/ (И-11)

В(11.11) вместо d dx подставим правую часть уравнения (11.8):

(11.12)

Уравнение (11.12) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение

(11.13)

Комплексные числа Л, и есть постоянные интегрирования, которые в дальнейшем определим через напряжение и ток в начале или через напряжение и ток в конце линий.

Комплексное число

(11.14)

называют постоянной распространения; его можно представить в Виде

(11.15)

где а - коэффициент затухания, характеризующий затухание падающей волны на единицу длины линий, например на 1 м (км); р - коэффициент фазы, характеризующий изменение фазы падающей Полны на единицу длины линии, например на 1 м (км). Следовательно,

ЫМ = 1Р1=1/м.

Ток / найдем из уравнения (11.7):

Idf) Ае-У-АеУ (11.16)

Zq dx Zq/у

Отношение Zq/у = Zq/ZqYq = a[Zq/ yq, имеющее размерность сопротивления, обозначают и называют волновым сопротивлением:

где - модуль; - аргумент волнового сопротивления Z. Следовательно,

Лз Л, (11.16а)

§ 11.4. Постоянная распространения и волновое сопротивление. Как указывалось ранее, постоянная распространения

V - а 4- /Р = V(roXGoT7<oQ- (11.18)

Для линии постоянного тока (о=0 и потому

т = д№о (11.19)

Для линии синусоидального тока без потерь (rq ~ gq = 0)

T = /(oV;. (11.20)

Запишем формулы для приближенного определения р и а в линии с малыми потерями, когда /?q/(oZ.q <$с1 и Gq/wCq <$с;1. С этой целью перепишем формулу (11.18) следующим образом:

и разложим биномы в ряды, ограничившись двумя членами каждого ряда [ т. е. воспользуемся соотношением дД-Ь I -\~ 0,Бх\. В результате получим

Следовательно,

«о /Q Go /77 (11.22)

p = (oVCo". (11.22a)

Рассмотрим вопрос о волновом сопротивлении. Для постоянного тока ((о = 0) из

(11.17)следует,что ,,,со\

2. = V«o7Go. (11.23)

Для линии синусоидального тока без потерь (rq = gq = 0)

zljc,. (11.23а)

Для линии синусоидального тока с малыми потерями, когда

<SCl. -7Г<5С1

(oLo (оСо