подставим - Cq- и обозначим LCq = 1 /и\

dh\ dh (12.5)

Из предыдущего [см. § 11.10, формула (11.39)] известно, что t; = 1/дДоО) есть скорость распространения электромагнитной волны по линии. Если уравнение (12.2) продифференцировать по х, а (12.1) - по / и в правую часть продифференцированного уравнения (12.2) подставить правую часть продифференцированного уравнения (12.1), то получим

уравнения (12.5) и (12.6) - это уравнения второго порядка в частных производных. Из курса математики известно, что уравнения такого вида называют волновыми.

Решением уравнения (12.5) является сумма любых функций /j и /2, причем аргументом функции /, является (/ - x/v), а аргументом функции - /2 - (/ -\-x/v)

u=f,{t-x/v) -\-f{t-\-x/v). (12.7)

Для сокращения записи в дальнейшем будем обозначать:

u,f,{t-x/v)- (12.8)

и,=Ш-\-х/ю). (12.9)

Следовательно,

W = (12.10)

где индексы «о» и «п» означают отраженная и падающая (волны).

Вид функций /, и /2 определяется граничными условиями в начале и конце линии. Функции /, и /2 в общем случае должны позволять дважды дифференцировать их по х и t.

Подстановка функций /,(/ -x/v) afjt -\-x/v) в (12.5) дает тождество.

Решение уравнения (12.6):

i = >,{t-x/v)+>2{t-\-x/v). (12.11)

Для сокращения записи обозначим:

г;=Ф,(/-х/о); (12.12)

i, = {t-\-x/v). (12.13)

Тогда

i = /„+io- (12.14)

§ 12.3. Падающие и отраженные волны на линиях. В соответствии с формулами (12.7) и (12.11) напряжение и ток в линии могут быть представлены в виде двух функций: функции /,(/ - xjv) и Ф(/ - x/v) - падающие волны; функции j + х/у) и + x/v) - отраженные волны.

Падающие волны перемещаются со скоростью v по направлению от источника энергии к приемнику, т. е. в сторону увеличения координаты х; отраженные волны - от приемника энергии к источнику, т. е. в сторону уменьщения координаты х.

Обсудим, как следует понимать, что аргументом функции /, является (/ - х/о) (аналогичные выводы можно сделать и по отнощению к другим функциям).

Пусть в некоторой точке линии при х = х, и / = значение функции /(/j - xJv) равно f j. Это значение функция /, будет принимать во всех точках линии, где х > х, с запозданием во времени, равным (х - х)/у и обусловленным конечной скоростью перемещения волны по линии.

Так, в точке х = Xg значение функции /, будет равно f, при t = t = ti -\- {Х2 - Xi)/v. Действительно,

/,(/g - X2/V) = /,{/, + - I) = f(t, - ) =

Таким образом, каков бы ни был закон изменения напряжения падающей волны /, в начале линии, по такому же закону, но с запозданием во времени изменяется напряжение падающей волны в любой точке линии.

§ 12.4. Связь между функциями /„ /g и функциями ф,, ц>2- Найдем связь между функциями /, и ф„ а также /g и фд. С этой целью в(12.1) и (12.2) подставим (12.7) и (12.11) и для сокращения записи обозначим:

d/,(/ - х/у) dq>i{t - х/у) , 6{t~x/v) d(/-x/o)

d/g(f + х/у) d<pg(/ + х/у) ,

d(i--x/D) Щх/У)

Тогда уравнение (12.1) дает

1. 1. , (12-15)

-/l --/2=0Ф + 0Ф2-

Из (12.2) следует, что

1 1 (12-16)

Перепишем (12.15) и (12.16):

/;- =с,1о(ф;+Ф): • (12.15a)

где Zg - волновое сопротивление однородной линии без потерь [см. формулу (П.23а)].

Таким образом,

Следовательно,

/,+/2=2.(<р,-0. (2-166)

Если производные двух функций (например, ф, и /,) при любых значенияххи /равны,то это значит, что сами функции(ф, и/,)равны с точностью до постоянной. Поэтому

-Yh{tx/v). (J2.20)

Постоянные интегрирования опустили, так как полагаем, что в токах и напряжениях падающей и отраженной волн отсутствуют постоянные составляющие, не зависящие от х и от /. Два последних уравнения можно переписать с учетом (12.8), (12.9), (12.12), (12.13):

K=ujZ. (12-19а)

/о = -«о/2. (12.20а)

Из(12.19а)следует, что ток падающей волны для любого момента времени и для любой точки на линии равен частному от деления напряжения падающей волны для того же момента времени и для той же точки линии на волновое сопротивление.

Из (12.20а) вытекает, что ток отраженной волны для любого момента времени и для любой точки линии равен взятому с обратным знаком частному от деления напряжения отраженной волны в Той же точке линии и для того же момента времени на волновое сопротивление. Знак минус в (12.20а) означает, что ток отраженной