chv/+

(12.38)

л > r л

Из (12.38) определим Vp) и затем lp) и подставим их в (12.36):

C/,(p)[chY(/-)+-shY(/-)I

Цх. р) =

chv/-}-

(12.39)

2 в

shy/

/(, Р) =

f/p(p)lchY(/-x)-fT;shY(/-)]

chY/+

iZ Z\

в .

2 в

(12.40)

sHy/

Обозначим а =--; о =--; с -

ZAP) ZAP)

-; т =-

ZAP)

ZAP) " ZAP) ZAP)

и введем эти обозначения в (12.39) и (12.40). Получим

(1 -f а)е---}-(1 -fl)e-"-*) = »„+a+*+c)eV+(.+«.-a-c)e-v (12.39а)

„ . W (1+о)е*»+(а-1)е-1<+

(• = I>)(,+a+*+c)eV+(l+*-a-c)e-v- (12-40а)

Поделив числитель на знаменатель формулы (12.39а), получим изображения падающих и отраженных волн напряжения в точке, удаленной на расстояние х от начала линии:

v{x, р) = и Ар) [FAp) е-+/2(Р) е--) --FAp) e-2z+x) /7) 6---*)+

+FAp) e-y+4FAp) e-v(6-)-...l.

(12.396)

Аналогично, для тока:

Пх, p)-JJ- [flip) ""-Чр)

-Fip) e-v(2+-)-f F4(p) e-v(4-)4.F5(p) e-4+>:) /r(p) e-v(6/-x) j (12.406)

Здесь

F . p p(l+fl)(l+fr-fl-c).

(\-a)(\+b-a-cf

Нахождение функций времени, соответствующих уравнениям (12.396) и (12.406) с учетом того, что t/,, у, Z, Z и Zg являются функциями р, в общем случае оказывается довольно громоздким делом. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь нескольких задач.

§ 12.12. Подключение линии без потерь конечной длины /, разомкнутой на конце, к источнику постоянного напряжения. В этом случае Rq=Gq=0 и в соответствии с (12.32) и (12.33)

ypiL = p/v\ Z=iLQ/CQ\ и,{р)=и /р.

Обозначим время прохождения волной расстояния / через х(хо = / /у) и время x/v через т. Тогда из (12.39) следует, что

р chpxQ ~ р eo-i-e-

Поделив почленно числитель на знаменатель, получим

и{х, р) = -le-Pe-P (2-о--)-е-Р (20+)-р

е-Р (4o-)-fe-P .. ]. (12.41)

В соответствии с теоремой смещения в области оригиналов (см. § 8.40) от (12.41) перейдем к функции времени

u{x,t) = f/{l(/-T)+i[M2xo-T)]--1[М2хо+т)]+1[М4то+т)Ь..}. (12.42)

Таким образом, решение для напряжения в произвольной точке записано как сумма падающих и отраженных волн напряжения (что совпадает с решением, полученным в§ 12.7 волновым методом), незатухающих по амплитуде. Каждое слагаемое решения вступает в действие, когда аргумент соответствующей единичной функции становится

§ 12.13. Подключение линии без искажения конечной длины /, разомкнутой на конце, к источнику постоянного напряжения U. В

этом случае Я/1 = 0/С = 6, y=ip-[)[L{p-[)/v; Z=.

= VVCon3 (12.39) следует, что

( Р- р ch(p-\-6)ЦCQl - р ch(/74-6)To ~-

и (Р+Ь)(г-Г) -(р+Ь){х-х) (12.43)

Поделим почленно числитель на знаменатель и перейдем к функции времени:

ф, О = Uie~4(t-T)-he-o-H [(/ (2то-т)]-

-е-«<2хо+)1[/-(2то+т)]-е-«<о--)1[/-(4то-T)l-f...}. (12.44)

Падающие и отраженные волны теперь затухают по амплитуде по экспоненциальному закону в зависимости от пройденных ими расстояний. Установившееся значение напряжения в конце линии при t-oo в соответствии с п. 5 § 8.40:

,. ,,,, , chO и (12.45)

ишриц, р) - - ch ?,VCo7V

§ 12.14. Подключение бесконечно протяженного кабеля без индуктивности и утечки к источнику постоянного напряжения V. Полагаем, что прямой и обратный провода кабеля близко расположены друг к другу (поэтому LqO) и его изоляция между проводами

очень хорошая (СджО). Тогда согласно (12.32) и (12.33) Y = RCp; z3 = л[к/Ср. Обозначим а = хлЩС и учтем, что и,(р)= и/р. По (12.39) и (12.40),

В соответствии с табл. § 8.39:

.-Hp

5-=1-Ф

2if lp [nt

е "

функция Ф(2) = -7=е dz (в нашем случае z =

= a/2jt) представляет собой интеграл ошибок Гаусса (рис. 12.10, а). Решение для напряжения и тока:

и(х, /)= (/[1-Ф(2)]; (12.46)

Отметим, что решение, полученное в предположении, что у кабеля Lq=Gq=0, имеет два недостатка: 1) напряжение и ток передаются от точки к точке не с конечной, а с бесконечно большой скоростью; 2) ток в начале линии в момент включения достигает бесконечно большого значения (в действительности он ограничивается хотя и малым, но конечным сопротивлением источника питания).