Для реальных воздушных линий ZJ л:; ЗООч-бОО Ом, для кабельных I Zj » 50 -Ь200 Ом. Угол ф имеет емкостный характер.

§ 11.5. Формулы для определения комплексов напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в начале линии. Как и раньше, через х, будем обозначать расстояние от начала линии до текущей точки на ней. Пусть в начале линии при X = О напряжение t7, и ток /,. Составим уравнения для определения постоянныхy4j иу42через 1) и/,. Из(11.13)и(11.16а)следует(jc = 0).

/1=Л2 + Л,; (11.25)

/Л = ->4,. (11.26)

Для определения Л, из (11.25) вычтем (11.26):

, = 0,5(f/,-/Л)==,е«; (11.27)

Л2 = 0,5(/, + /Л) = 2еЧ (11.28)

где Л, - модуль; -ф -аргумент комплекса Л,; - модуль; -ф - аргумент комплекса Л2.

Подставим (11.27) и (11.28) в (11.13):

(У, - /.Z (У, + /,Z3

• ev 4- е~ • е"- - е" " = --А-2-

Введем гиперболические функции. Известно, что chjc = 0,5(е< 4- е-"), shjc = 0,5(е - е~).

Поэтому

0,5(е + е- <) = chvjc; (11.29)

0,5(е - е-<) = shYJc. . (11.30)

Следовательно,

[У= Uchyx- IZ.shyx. (11.31)

Аналогичные преобразования, примененные к (11.16), дают

. . t/, (11.32)

/ = Ichyx - -shv:.

Индексы «о» и «п» - начальные буквы слов «отраженная» и «падающая» вол-"ь1(см.§ 11.8).

Рис. 11.3

Формулы (11.31) и (11.32) позволяют найти комплексы напряжения и тока в точке линии, расположенной на расстоянии х от ее начала. Следует иметь в виду, что аргументом гиперболических функций в этих формулах является комплексное число yX = iLX -\- jx.

§ 11.6. Графическая интерпретация гиперболических синуса и косинуса от комплексного аргумента. Гиперболические функции от комплексного аргумента сами являются комплексами и могут быть изображены векторами на комплексной плоскости.

Заменим ух в уравнениях (11.29) и (11.30) на ajc + jx:

chyx = i(eVP -f- е- •e-);

shyx

По таблицам показательных функций найдем значение е* и е-« и на комплексной плоскости рис. 11.3 отложим векторы eV и е~"е~. Первый из них по модулю равен е и относительно оси действительных значений повернут на угол х против часовой стрелки; второй по модулю е~ и относительно оси действительных значений повернут на угол х по часовой стрелке.

Гиперболический косинус равен полусумме этих векторов, а гиперболический синус - их полуразности.

§ 11.7. Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в конце линии.

Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии у, а длину всей линии (рис. 11.4) /;

1-х. (11.33)

Пусть известны напряжение и ток в конце линии U2 и /g. Подставим в (11.13) и (11.16а) jc = I, и = t/g. =2 и составим два уравне-

Начало линии

шеи, •линии

Рис. 11.4

НИЯ для определения постоянных интегрирования Л, и А.

£/2 = Л2е--{-Л,е;

Отсюда

(11.34)

Л 2 = 0,5((;2 + hZy == ге*"-

Если подставить (11.34) в (11.13) и (11.1ба), заменить I - хна у и перейти к гиперболическим функциям, то получим

и= Uchyy iZ,shy у; (11.35)

. U2

(11.36)

Зная f/g и /g с помощью формул (11.35) и (11.36), можно найти комплексы напряжения и тока в точке, находящейся на расстоянии у от конца линии.

§ 11.8. Падающие и отраженные волны в динии. Подставим в формулу (11.13) Л,ео вместо Л,, Л2еп вместо Лз[см. (11.34)], заменив V на а -- /р, получим

и = А .ее/<*о + И -f ЛgC" •V- И. (11.37)

Аналогичную операцию проделаем с формулой (11.16а), причем н дополнение заменим Z на 2е**Рв[см. формулу (11.17)]:

Le«e + - Фв) - - е~ "е "п - -

2в 2,

(11.38)

Для перехода от комплексов напряжения и тока к функциям нремени умножим правые части формул (11.37) и (11.38) на Ve" и от произведений возьмем мнимую часть:

и=Л,V2esin(co/-f % + pjc)-f Л2д/2"е-« sin(co4- рл:); (11.37а)