ЭДС e{t)=E происходит три качественно различных процесса. Сна чала заканчивается перемагничивание сердечника нелинейной ин дуктивной катушки, когда потокосцепление -ф изменяется от 0,6я)

до (на это затрачивается время 0,25т). После этого за 0,5т заряд нелинейного конденсатора изменяется от -до q (при этом по цепи течет ток E/R); в оставшуюся часть времени третьего интервала (1 - 0,25 - 0,5)т=0,25т на нелинейном конденсаторе появляется напряжение Uc=E. В последующие три интервала времени каждый длительностью т имеют место процессы качественно такие же, что и в трех рассмотренных, но движения происходят в обратном направлении.

Диаграммы возможных типов движений в схеме (на рис. 15.55, а), когда в ней действует ЭДС e(t)=±E, изображены на рис. 15.55, ж. Заштрихованная область =0 соответствует типу движения по рис. 15.55, г, область Н - движению по рис. 15.55, д, области 3, 5, 7, 9, и - это области субгармонических колебаний соответственно 3 - 11 -го порядков. Если на рис. 15.55, ж провести из начала координат прямую под углом а к оси абсцисс (tga=/?<7/ij; на рисунке tga=0,2)TaK, чтобы она прошла через все области, то при плавном увеличении Е изображающая точка будет двигаться в направлении стрелки, последовательно проходя области , 9, 7, 5, 3, =0, Я, т. е. при этом будут получены 7 различных типов движений и все они будут устойчивы. Переход из предыдущей области в последующую обусловлен невозможностью при измененной Е осуществить смену состояний, характерную для предыдущей области.

Если всхеме(на рис. 15.55,а)ключ/(, разомкнуть, а/(ззамкнуть, то в цепи будет действовать ЭДС dz+o- этом случае при плавном увеличении £"о от О до fO,SE возникнут последовательно субгармонические колебания нечетного и четного (3, 4, 3,4, 3, 6) порядков (рис. 15.55, з). Имеется также область неустойчивости (от Eq=E/3 до £о=-mA)» когда возникают хаотические (непериодические) колебания. Они возникают вследствие того, что изображающая точка в этом диапазоне Eq попадает (рис. 15.55, и) на падающий участок зависимости постоянной составляющей заряда

за период 7. от постоянной составляющей напряжения на конденсаторе u=Eq. Подробнее о границах переходов см. [20] § 15.6.

§ 15.70. Автомодуляция. Хаотические колебания (странные аттракторы). Автомодуляцией называют режим работы нелинейной электрической цепи, находящейся под воздействием периодической вынуждающей силы частотой со, при которой амплитуды токов и напряжений в цепи периодически изменяются без воздействия внешнего модулирующего фактора. Автомодуляция возникает вследствие неустойчивости периодического режима работы на частоте вынуждающей силы о. Процесс оказывается периодическим

4 J 2 1 0

Mo 5

12 3 4m

0 2040 60 80 Uca в) ОС

Рис. 15.56

ИЛИ почти периодическим для огибающих амплитуд первых гармоник и непериодическим (хаотическим) для мгновенных значений.

Выведем основные зависимости, описывающие процесс автомодуляции в схеме (на рис. 15.56, а) с нелинейным конденсатором, кулон-вольтную характеристику которого в соответствии с § 15.26 выразим в виде U(f=shftq.

Так как в цепи действуют постоянная Е и синусоидальная £",sin((o/-Hp) ЭДС, то заряд q имеет постоянную и синусоидальную компоненты:

=Qo+Q;«sin(o/.

Постоянная составляющая напряжения на конденсаторе (см. § 15.16)

t/co=ashpQ(/Pm)-

Первая гармоника Wci=2achpQo-/7,(/pQJ]sin(o/, первая гармоника тока fi=(oQ,coS(o. Если в уравнение цепи

iT?-Ь L--f uc=£o+mSin(w+ф)

подставить записанные выражения для Ссо+"с " разбить его в соответствии с методом гармонического баланса на уравнения для постоянной составляющей, а также для синусной и косинусной компонент, а затем два последних уравнения возвести в квадрат и

сложить для устранения угла ср, то, введя обозначения а=-г-, b=~-, с=-, Оо=п, Q=m, получим два следующих уравнения:

(а) (б)

to)L

а S h п / о( / m) =Eq=U(>q, Ьт-Цс[ -/7Д jm) chn -т

Рещим (б) относительно ch п\

m±-\ja-bm ~ c[-/7i(/m)]

Уравнение (в) дает связь между пит, обусловленную параметрами цепи по первой гармонике частоты со, а уравнение (а) - по постоянной составляющей. На рис. 15.56, б изображена зависима мость п от т, построенная по соотнощению (в) при а=0,5; 6=0,1; с=0,054. Верхний участок кривой соответствует знаку плюс, а нижний - знаку минус перед радикалом в формуле (в).

Задаваясь значениями п в интервале О - 6 и беря соответствующие им значения т из рис. 15.56, б, по формуле (а) строим зависимость pQo=/(t/o/a)(pHc. 15.56, в). Из рисунка видно, что в области значений t/(.o/a=3560 имеется падающий участок, не прикрытый восходящими участками.

Если £0=60 будет такова, что изображающая точка окажется на падающем участке характеристики (рис. 15.56, в), то режим вынужденных колебаний окажется неустойчивым и в системе начнется процесс автомодуляции. Последний будет процессом устойчивым, так как для него имеется единственный предельный цикл.

На рис. 15.56, б, в пунктиром показано, как движется изображающая точка при автомодуляции. Стрелки указывают направление движения. На рис. 15.56, г показан характер изменения во времени тока/, (первой гармоники тока). н

Для более обстоятельного ознакомления с теорией автомодуляции и некоторыми другими динамическими явлениями в различных электротехнических устройствах рекомендуем обратиться к [21].

Из рис. 15.56, в видно, что дифференциальная емкость для мед-

ленно изменяющихся Qq и t/o (дифо=ТГГ~) падающем участке отрицательна.

Если в схеме (рис. 15.56, а) заменить линейную L на управляемую нелинейную, а нелинейный конденсатор на линейный, то при определенных условиях также возникнут автомодуляция и появится отрицательная дифференциальная индуктивность для медленно изменяющихся составляющих потокосцепления и тока

(дифо=-)-

В заключение заметим, что непериодические (хаотические) процессы для мгновенных значений токов и напряжений в нелинейных цепях, находящихся под воздействием периодических вынуждающих сил, в особенности когда нет явно выраженной огибающей, называют еще странными аттракторами (аттрактор - это путь от одного типа движения к другому). Возникновение хаотического движения можно рассматривать как "катастрофу" ожидаемого периодического движения. Как правило, "катастрофа" происходит тогда, когда теоретически единственно возможный периодический процесс в цепи при данных сочетаниях параметров оказывается неустойчивым и в окрестности единственной неустойчивой точки равновесия нет устойчивого предельного цикла. Если падающий