Искомая система уравнений:

! , I . , (16.7)

Значения /-д„ф(0 и Сд,ф(И() на (-{-1)-шаге интегрирования подсчитывают по значениям / и на k-M шаге.

§ 16.6. Метод медленно меняющихся амплитуд. В электро- и радиотехнике для расчета переходных процессов широко применяют метод медленно меняющихся амплитуд. Этот метод был предложен в 1921 г. голландским ученым Ван-дер-Полем.

Рассмотрим основы этого метода на примере нелинейной цепи второго порядка, находящейся под воздействием периодической возмущающей силы.

Пусть уравнение этой цепи записано следующим образом:

d/2+d7+OSinG)/. (16 9)

Под действием периодической силы с частотой оз в цепи устанавливается вынужденное колебание, первая гармоника которого имеет частоту (О. Полагаем, что высшие гармоники выражены слабо.

Искомая функция x{t) может быть представлена как

j£:=asino)/--ftcosa)/, (16.10)

где аиЬ - медленно меняющиеся во времени амплитуды искомого колебания.

Медленность изменения а и во времени определяется тем, что их производные по времени являются величинами первого порядка малости по сравнению с произведениями оза и озЬ:

da db , (16.11)

dt dt

Если это учесть, то, вместо того чтобы взять

dx , da db (16.12)

-- = ао) cos (dt - bmsint + sin to/- + cos (at -, dt at dt

МОЖНО В первом приближении принять

dx , , . , (16.13)

---«atocosr-otosino)/. dt

Аналогично, вместо того чтобы вторую производную брать в виде

-г»-to asino)/-О) ocostor-l-tocosa)/- - dr d/

-tosinto/-+-rsinto/+-:7costo/+ dt dr dr

da db

+tocosto/-- - tosintor-, dr dt

пренебрежем в ней слагаемыми второго порядка малости (учтем,

da da d4 db

ЧТО-5-<scto- И to-<sc) И оставим слагаемые первого порядка

малости. В результате получим

dx ( о db\

sinto-j-

(16.14)

cos to/.

Обратим внимание на то, что слагаемые первого порядка малости оставлены в выражении для dx/dt и их не учитывают в выражении для dx/dt. Объясняется это тем, что исследуемая цепь обладает малыми потерями, поэтому амплитуда второго слагаемого левой части (16.9) относительно мал а по сравнению с амплитудами первого и третьего слагаемых левой части (16.9).

В функцию f{x) вместо х подставим (16.10) и разложим f{x) в ряд Фурье. Затем умножим ряд Фурье, которым выразилось f(x) на dx/di [на правую часть (16.13)]. Таким образом,

fir = Foia, b) + Fi{a, b)sinto/ + Fa, b)cos(at +

+F3(a, 6)sin2to/+f"4(a, &)cos2a)/+... . (16.15)

Так как расчет ведется по первой гармонике, то постоянной составляющей f"o(a, b) и высшими гармониками ряда Фурье [£з(а, Ь), Fa, b) и др.] в дальнейшем пренебрегаем.

В (16.9) подставим правую часть (16.14) вместо dx/df, , Fi{a, b)s[nb}t-\-F2{a, b)cos(ot вместо f{x)dx/dt и o)(asin(o/--6cosa)/) вместо (nlx.

Тогда (16.9) можно разбить на два уравнения. Одно из них [уравнение (16.9)] будет выражать собой равенство коэффициентов при cosco/ в левой и правой частях (16.9), другое [уравнение (16.17)] - равенство коэффициентов при sinw/ в левой и правой частях (16.9):

db t) t)

-2to-+f"i(a, 6)-1-а((й-(й)=Л; (16.16) "

if+2(«. b)+b(a)2-to2)=0- (16.17)

Система уравнений (16.16) и (16.17) представляет собой два совместных дифференциальных уравнения, составленных относительно мгновенных значений медленно меняющихся амплитуд аиЬ.

В общем случае решение этой системы может производиться методом малого параметра или методами численного интегрирова-

ния. в частном случае, когда внешняя периодическая сила равна нулю (Л=0) и функция Fyia, b)=0, система сводится к одному дифференциальному уравнению первого порядка

(&=0).

(16.18)

Ранее были рассмотрены основные этапы перехода от дифференциального уравнения для мгновенных значений [уравнение (16.9)] к дифференциальным

уравнениям для медленно меняющихся амплитуд. Метод применим и к уравнениям более высоких порядков.

В заключение необходимо отметить, что если максимальное значение слагаемого f{x)dLx/dt в (16.9)(и подобных ему), выражающее собой падение напряжения в активном сопротивлении контура (контуров), соизмеримо с максимальными значениями остальных слагаемых (16.9), то в выражении dx/dt должны быть сохранены слагаемые первого порядка малости, которыми ранее пренебрегли. Огибающая колебаний определяется уравнением

f(t)=ia\t)-A\t).

Пример 164. Определить закон нарастания амплитуды напряжения на сетке в ламповом автогенераторе (рис. 16.5).

В соответствии с обозначениями на рис. 16.5 составим уравнение по второму закону Кирхгофа для сеточной цепи:

+ Ri + = 0.

Подставим в него i = С -j-. Получим

Анодный ток la выразим через сеточное напряжение [см. (15.40)]: а = tao -- а ыс - buh

Но-р7 = (а - ЗЬисУ-тт- Подставим -j в (а): dt dt dt

LC + (RC - aM + ЧЬМи%) + = 0.

Поделим последнее уравнение на LC = I/wq, где Wq - угловая частота автоколебаний, и обозначим

Ма - RC ЗЬМ (16.19)

Ма - RC