Получим

примем

Тогда

-k,{\- kqul) + couc = 0. (16.20)

Множитель - - л;) и представляет собой функцию f{x) уравнения (16.9). Так как на систему не действует внешняя периодическая сила и частота автоколебаний равна соо, а не о), то примем ;

X = flsinwQ/, - » acopcostoo/; 22)!

"0 ifо ~ ttflsintoo/. ( 16 23)

Подставим (16.22) и (16.23) в (16.21) и учтем, что

51па)р/со5сор/ = 0,25(со5а)р/ - cosSwq/);

2а)рС05а)р/- aWpSintOQ/ + awsinfOQ/ - /г,аа)рС05а)р/ +

+ 0,25ja)Qa(cosa)Q/ - cosSwq/) = 0.

Так как расчет ведем по медленно изменяющейся по амплитуде первой гармонике, то слагаемое с cosSwo/ не учитываем. Следовательно,

2 = а*,(1-0,25а).

Введя новую переменную у = 0,25а, получим

= (16.25 j

Уравнение (16.25) - это уравнение с разделяющимися переменными

V = S(rr; M = -lnCo + ln;

у Сое*"

где InCo - постоянная интегрирования: -;-= Сое у =-177

-У 1 + Сое*

1 - 2

1 + Cie-*i " д/l + C,e-*i

2 .

Vl + C,e-*»

Амплитуда напряжения на конденсаторе изменяется во времени следующим образом:

а 2 jaM - RC

vVTT; зш (16.26)

Постоянную интегрирования Су определим по начальному значению. Если при t == = О t/c = t/c(0 ), то

4 а М - /?С ~ с(0 ) ЗШ

Мгновенное значение напряжения на конденсаторе

= f/ sinwQ/. (16.27)

§ 16.7. Метод малого параметра. Нелинейные дифференциальные уравнения иногда решают путем последовательных приближений, представляя искомую величину х в виде ряда по степеням некоторого коэффициента t, который называют малым параметром:

X = Xq-\-llX -\-11Х2-\-...у (16.28)

где Xq - решение уравнения нулевого приближения (последнее получают из исходного, полагая, что все нелинейные члены в исходном уравнении отсутствуют); x - решение уравнения первой поправки, которая учитывает влияние нелинейных членов в первом приближении; - решение уравнения второй поправки, и т. д.

Если исходное уравнение является дифференциальным уравнением второго или более высокого порядка, а принужденный режим представляет собой колебательный процесс, то квадрат угловой частоты первой гармоники о) или первую степень о также разлагают в ряд по малому параметру:

где - квадрат угловой частоты в нулевом приближении, когда всеми нелинейными членами пренебрегают; ja,/, - поправка первого приближения, вызванная нелинейными членами уравнения; jA/g - поправка второго приближения, и т. д.

Последовательность решения рассмотрим на двух примерах.

1. При л;(0) = О решить уравнение

d. (16.29)

К такому уравнению, например, сводится задача о переходном процессе в цепи, состоящей из индуктивной катушки с нелинейной ВАХ и линейного резистивного сопротивления, при подключении ее к источнику постоянного напряжения и при квадратичной аппроксимации зависимости потокосцепления от тока.

Линейные члены уравнения переносим в левую часть, а нелинейные, умножив на некоторый малый параметр х, - в правую (в примере р, = 1):

dx , , (16.30)

Представим решение (16.29) в виде ряда по степеням \i:

x===XQ~\-ViXi~\-Vi%~\-... . (16.31)

Подставим (16.31) в (16.30):

dxQ dxi dx 2 2 ъ 2 г. .

- 4-1-+1--l = -li4- \2xqXi - + 2x0X2). (16.32)

Из (16.32) образуем систему уравнений, приравняв члены левой и правой частей его при одинаковых степенях \i: dxQ

- 1=0 - уравнение нулевого приближения; Ig 33

-"1 2

= - Xq - уравнение для первой поправки; (16.34)

= - 2xqX, - уравнение для второй поправки. Ig 35

Проинтегрируем (16.33): Xq = / + Cq.

Постоянную Cq = О определили из начальных условий. Подставим Xq = / в уравнение (16.34) и проинтегрируем его:

Для первой поправки начальные условия также нулевые, поэтому С, = 0;

x, = - -. Подставим значения Xq и х, в (16.35): о

~dT = T 2 = -i5+C2. C2 = 0. В соответствии с (16.31)

= -3+7- (16.36)

Аналогичным путем можно было бы получить и последующие члены ряда (16.31). Так как уравнение (16.29) имеет точное решение х = tht, то, взяв в разложении tht три первых члена ряда, можно убедиться, что они совпадают с правой частью (16.36).

2. Решить уравнение для лампового генератора (вывод уравнения см. в примере 164 при начальных условиях х(0) = Aq х (0) = 0):

dx . о. dx

2-й,(1-х2)-+а)2х = 0. 3

Коэффициент /г, при нелинейном члене в дальнейшем будем считать малым параметром и обозначим ц,. В соответствии с предыдущим

X = Xq + + 11X2 + •. •,

o)2=o)Hj/,+j%+... . (16.38)