Рис. 16.6

Метод имеет смысл применять только в том случае, когда процесс последовательных приближений является сходящимся.

Пример 165. Решить уравнение + jc = 1 при x(0) = 0.

Решение. Для определения g{t) на линейную часть системы воздействуем единичным напряжением - = \\g{t) = t,g{t) = 1;g(0) = 0,g{t - т) = 1. Записываем рекуррентное соотношение:

/ t 3

X, = J dx = /; 2 = 5 (I - T)dT = / -

t 3 3 95 f7

§ 16.9. Переходные процессы в цепях с терморезисторами. Методику рассмотрим на примере схемы (рис. 16.6, а). Переходный процесс вызван замыканием ключа К. Полагаем, что температура окружающей среды в неизменна. ВАХ термистора при температуре в представлена на рис. 16.6, б кривой а. Установивщийся режим до коммутации определяется точкой /, после коммутации - точкой Сразу после коммутации сопротивление термистора (он обладает больщой постоянной времени) остается равным его сопротивлению

до коммутации /?, =--. При коммутации изображающая точка

скачком перемещается из положения / в положение 2. После этого она по некоторой траектории перемещается из 2 в Режим в точке 3 будем полагать устойчивым (в § 3.10 [20] разобрано, как исследовать устойчивость этого режима). Переходный процесс описывается уравнением теплового баланса

Рис. \ 6.7

+ (7 ~ 6) = lRr,

где Cj-

dT dt

теплота, идущая на увеличение теплосодержания тела

термистора; Су- - удельная теплоемкость; Т-среднеобъемная

абсолютная температура тела термистора; k(T - В) - теплота, отдаваемая в окружающее пространство; PRj - теплота, выделяемая в термисторе.

Полагаем, что за время переходного процесса ku Cj- практически неизменны. Сопротивление термистора Rj- - Rg (см., на-

пример, [20]); R - сопротивление термистора при Т оо; в = --,

где Л£ - усредненная энергия активации, /г, - постоянная Боль-цмана. Например, для термистора ММТ-1 B-AbOOkwR = 5,5 0м. Из уравнения (а) следует, что

"

Здесь

в/т uiT

k{T - в).

R + /оое/

Верхний предел интеграла в (б) изменяется от до Гд:

7. =

HRtJiJ

§ 16.10. Переходные процессы в цепях с управляемыми нелинейными индуктивными элементами.

Типичный представитель такого класса цепей представлен на рис. 16.7, а. Управляемая цепь образована источником синусои-

дальней ЭДС e(t) = Esin((o/ -- (р), двумя обмотками ш нелинейного индуктивного элемента, расположенными на двух одинаковых магнитных сердечниках (сечением S, длиной средней магнитной линии /), и резистором сопротивлением

Управляющая цепь образована источником постоянной ЭДС Eq, резистором сопротивлением Rq и двумя обмотками ш, расположенными на тех же сердечниках. Переходный процесс вызывается замыканием ключа К. При замкнутом К магнитная индукция в левом сердечнике равна Bsinw/ --- В, а в правом Bslniat - Bq (высшие гармоники не учитываем). Амплитуда синусной компоненты В и «постоянная» составляющая Bq являются медленно изменяющимися функциями времени, влияющими друг на друга.

Учитывая направления намотки катушек, замечаем, что потокосцепление двух обмоток w равно 2wSBs\n(i)t, а потокосцепление двух обмоток Шо равно 2wqSBq.

Выразим кривую намагничивания ферромагнитного материала сердечников гиперболическим синусом И = ashB. Используя закон полного тока и формулы (15.13) и (15.12), запишем первую гар-

монику тока: i = - chpBJ-y7,(/pB)]sino)f. Мгновенное значение мед-

ленно изменяющегося «постоянного» тока в цепи управления

iQ = - shBQjfljBJ. Запишем дифференциальное уравнение для

мгновенных значений первых гармоник управляемой цепи

Pfisino)/ + /?„сЬрВо[- iJmBJ]s\mot = £sin(o)/ + ф) (а)

и дифференциальное уравнение для мгновенных значений цепи управления

2Swq dpBo а ?о /ч

"Г "dT + chpBo-o(/Pfi.) = f о- (б)

Учитывая медленность изменения В во времени

fdB \

<<СмВ , из уравнения (а) получим уравнение (в):

mpBcoso)/ + wchpBol- iIi{iB)]s\nuit = £со8ф81п(о/ + £,„81Пфсо80)/; (в)

2ш5(о 2alR

т = ---, п =-.

Равенство косинусных компонент уравнения (в) дает уравнение (г), а синусных компонент - уравнение (д):

трВ, = Е,51пф, (г)

«сНрВо [- = .созф. (Д)