* dx

ют по формуле t = [ ~~7Т. где Xq - начальное значение, ах - текущее. В окрестно-

сти точки пересечения кривой с осью абсцисс подынтегральное выражение стремится к бесконечности. Чтобы избежать планиметрирования площади под кривой, уходящей в бесконечность при ф(х)-*-0, подсчет времени At на этом участке производят по средней скорости Фср(х) = Ах/ф.р(х).

Пример 166. Рассмотреть колебательный процесс в схеме на рис. 16.13, а. В этой схеме L = 1 Гн; С = 1/3 Ф, ВАХ нелинейного резистора i -- У = /(ы -- t/J изображена на рис. 16.13, б. Ток источника постоянного тока У = 7 А. ВАХ относительно переменных составляющих тока i и напряжения и на резисторе получена переносом начала координат в точку / = 7 А. Эта ВАХ состоит из трех участков. На участке I u=-i{\i\ <3), на участке « = 3/ - 12 («>3), на участке / « = 3« -f 12 (<>3). Обозначим переменную составляющую заряда конденсатора q = х. Учтем, что сумма падений напряжений для переменных составляющих

di а (дЛ

"/? + «L + "c=«« + i+ = 0,

tOK

Aq Ai А Ay Ах Ay

Подставим соответствующие эквиваленты в (а) и запишем уравнение изоклин

Зх „ 12 Зх

на каждом из участков: на участке I у ---, на участке II и = --- - ---, на

1-а З + йЗ + й

„, 12 Зх

участке III у=- --- - ---.

3 -- а 3 -- а

В соответствии с этими уравнениями строим на рис. 16.13, в семейство изоклин для каждого из участков. Изоклины являются отрезками прямых. Значения о написаны рядом с соответствующей изоклиной. Жирной линией показан предельный цикл.

Вопросы для самопроверки

1. Охарактеризуйте известные вам группы методов расчета переходных процессов в нелинейных цепях. 2. Укажите, в чем положительные и в чем отрицательные стороны расчетов по мгновенным значениям и по огибающим первых гармоник, графоаналитических и аналитических методов. 3. Почему метод расчета, основанный на графическом подсчете определенного интеграла, неприменим даже для цепей первого порядка, если вынуждающая сила является функцией времени? 4. Почему метод интегрируемой нелинейной аппроксимации не удается применить к электрическим цепям, описываемых уравнениями второго и более высоких порядков? 5. Чем физически можно объяснить, что при подключении линейной /L-цепи к источнику синусоидальной ЭДС максимальное значение тока при переходном процессе не может превысить удвоенного значения амплитуды тока установившегося режима, тогда как при подключении цепи резистор - индуктивная катушка с нелинейной ВАХ к источнику синусоидальной ЭДС это превышение может быть во много раз больше? 6. Сформулируйте особенности расчета переходных процессов в нелинейных системах не чисто электрических, например электромеханических. 7. На примере цепи с термистором покажите, что бывает полезно подразделить переходный процесс на быстро и на медленно протекающие стадии и рассматривать их раздельно. 8. В чем идея метода малого параметра? 9. Запишите и прокомментируйте рекуррентное соотношение, являющееся решением нелинейного интегрального уравнения. 10. Охарактеризуйте идею метода медленно изменяющихся амплитуд. 11. Как расчетным путем учитывают магнитную вязкость при перемагничивании

ферритовых сердечников импульсами тока? 12. Дайте определение фазовой плоскости, интегральной кривой, фазовой траектории, предельного цикла, изоклины, особой точки. 13. По какому признаку классифицируют особые точки? 14. Как по фазовой траектории у = f{x) построить временную зависимость x{i)}

Глава семнадцатая

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕЖИМОВ РАБОТЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

§ 17.1. Устойчивость «в малом» и «в большом». Устойчивость по Ляпунову. Режим работы электрической цепи, содержащей нелинейные элементы, может быть устойчивым или неустойчивым. Как правило, режим работы большинства электрических цепей является устойчивым и в значительно меньшем числе случаев - неустойчивым.

Различают устойчивость «в малом» и устойчивость «в большом».

Под устойчивым режимом работы «в малом» понимают такой, при котором достаточно малое отклонение режима работы от исходного (установившегося) - независимо от того, какими причинами оно вызвано, - с течением времени уменьшается и система возвращается в исходное состояние.

При неустойчивом режиме работы «в малом» достаточно малое отклонение с течением времени увеличивается и система не возвращается в исходное состояние.

Устойчивым режимом работы «в большом» называют такой режим работы, при котором система, получив достаточно большое начальное отклонение, возвращается в исходное состояние после прекращения действия возмущения.

Если при достаточно большом отклонении от исходного состояния после прекращения действия возмущения система не возвращается в исходное состояние, то ее называют системой, неустойчивой «в большом».

Различие между устойчивостью «в малом» и устойчивостью «в большом» можно проиллюстрировать с помощью рис. 17.1, а. На этом рисунке изображены желоб с помещенным в нем шариком. Если шарик толкнуть так, что он переместится из положения / в

положение 2, а затем предоставить его себе самому, то под действием силы тяжести шарик возвращается в исходное положение (положение равновесия). Если шарик толкнуть с большей силой, то он пройдет через положение 3 и выскочит из желоба. Таким образом, система (рис. 17.1, а) устойчива «в малом» и неустойчива «в большом».

В литературе можно встретить также термин «устойчивость по Ляпунову». Системой, устойчивой по Ляпунову, называют систему, для которой можно указать область допустимых отклонений [область б(е) на рис. 17.1, б] от состояния равновесия (точки 0), для которой ни одно из движений, начинающихся внутри области б, никогда не достигнет границ некоторой заданной области е.

Размер и форма области 6 зависит от размера и формы области е.

В нелинейных электрических цепях в общем случае возможны следующие режимы (типы движения): 1) состояние равновесия; 2) периодическое движение при отсутствии в системе источников периодической ЭДС (тока) - автоколебания; 3) периодическое движение с частотой источника периодической ЭДС (тока) - вынужденные колебания; 4) резонансные явления на высших, низших и дробных гармониках; 5) квазипериодические (как бы периодические) процессы по типу автомодуляции, а также ряд других, более сложных типов движений. Каждый из этих режимов (типов движений) может быть исследован на устойчивость.

В большинстве практических задач производят исследование устойчивости «в малом». Исследование устойчивости «в большом» производят путем анализа хода интегральных кривых на фазовой плоскости или путем использования второго метода Ляпунова. Основы теории устойчивости были разработаны крупнейшим русским математиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. и изложены в его книге «Общая задача об устойчивости движения».

§ 17.2. Общие основы исследования устойчивости «в малом».

Общие основы исследования устойчивости «в малом» применимы ко всем или почти ко всем известным в настоящее время типам движения. В каждом конкретном случае возможны некоторые особенности при применении общих принципов.

Для исследования устойчивости исследуемой величине л: (величинам) дают малое приращение Ах, развертывают уравнение, описывающее процесс, в ряд по степеням малого приращения Ах и ввиду малости Ах отбрасывают все члены ряда, содержащие Ах в степенях выше первой.

В полученном уравнении (уравнениях) выделяют слагаемые, содержащие Ах и производные от Ах по времени, и образуют из них дифференциальное уравнение (уравнения) относительно Ах. Уравнение относительно Ах алгебраизируют, получают характеристическое уравнение и определяют его корни.

Если хотя бы один корень характеристического уравнения поло-