жителей или положительна действительная часть комплексно-сопряженных корней, то это свидетельствует о том, что возникшее приращение Ад: будет не убывать, а возрастать во времени, т. е. исследуемое движение является неустойчивым.

Если же все действительные корни характеристического уравнения отрицательны, а все комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть, то исследуемое движение является устойчивым.

Характеристическое уравнение, составленное относительно приращения х:

для системы второго порядка

+ +«2 = 0;

для системы третьего порядка

QqP -h а,р2 + ар + аз = 0-

Для суждения о характере корней характеристического уравнения разработано несколько математических критериев. Воспользуемся критерием Гурвица (Рауса - Гурвица). .

Критерий (теорема) Гурвица состоит в следующем: для того чтобы действительные части корней характеристического уравнения были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры (Д,, Ag* 1) определителя Гурвица (А„)

были больше нуля.

Определитель Гурвица

А„ =

й, йз Й5 йо Й2 «4

о а, йз

Следовательно, условия отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения выражают следующим образом:

й, йз

йо а2

Aj = ai>0; Ag =

= а,Й2 - йойз>0;

Аз =

й, йз flg

«02 «4 Ой, йз

>0 и т. д.

Определитель Гурвица А„ составляют так: . ,

1) по главной диагонали определителя в порядке возрастания индексов вписывают коэффициенты от а, до а„;

2) в ту часть каждого столбца, которая расположена выше главной диагонали, записывают коэффициенты в порядке возрастания индексов;

3) в ту часть каждого столбца, которая расположена ниже глав-

ной диагонали, вписывают коэффициенты в порядке уменьшения индексов (до включительно).

Следствием теоремы Гурвица является лемма: все коэффициенты характеристического уравнения (uq, а,, а2,...,а„) устойчивой системы положительны.

Из изложенного вытекает, что для системы с характеристическим уравнением второго порядка положительные вещественные корни (или комплексно-сопряженные с положительной действительной частью) имеют место в том случае, если какой-либо из коэффициентов уравнения (ао,а,, аз)окажется отрицательным. Для системы с характеристическим уравнением третьего порядка положительные вещественные корни (комплексно-сопряженные с положительной действительной частью) будут в том случае, если: а) какой-либо из коэффициентов (uq, а,, ag, аз) окажется отрицательным; б) а,а2 - аоаз<Й.

Аналогичные заключения могут быть сделаны и для систем с характеристическими уравнениями более высоких порядков.

Коэффициенты ао, а,, а2, ... могут оказаться отрицательными в следующих основных случаях:

а) когда в состав исследуемой на устойчивость системы входят нелинейные резисторы, обладающие падающим участком характеристики, а точка равновесия оказывается на падающем участке характеристики;

б) в схемах с чрезмерно большим воздействием выходной величины на входную (в схемах с чрезмерно большой положительной обратной связью). В этом случае поступление энергии из выходной цепи во входную превышает потребление энергии во входной цепи и приращение Ах возрастает;

в) в схемах с управляемыми нелинейными индуктивными катушками (нелинейными конденсаторами) при наличии неявно (в некоторых случаях и явно) действующих обратных связей. В таких схемах обратные связи при определенных условиях приводят к появлению на характеристиках нелинейных индуктивных катушек (нелинейных конденсаторов) падающих участков. Режим работы системы может оказаться неустойчивым, если изображающая точка окажется на падающем участке характеристики управляемой нелинейной индуктивной катушки (нелинейного конденсатора).

§ 17.3. Исследование устойчивости состояния равновесия в системах с постоянной вынуждающей силой. Когда рабочая точка по постоянному току окажется на падающем участке ВАХ, то состояние равновесия в системе при определенных условиях может оказаться неустойчивым.

В этом случае применяется известный способ: при исследовании устойчивости нелинейный резистор заменяют расчетной схемой - схемой замещения. Она должна учитывать свойства

Рис. 17.2

HP как при медленных (при о)->-0), так и при быстрых (при о)->-оо) малых приращениях тока и напряжения на HP.

Свойства HP при о)-0 определяются самой ВАХ HP, снятой при постоянном токе, на падающем участке которой дифференциальное сопротивление /?диф<С 0.

Если к HP подвести некоторое постоянное напряжение или через него пропустить некоторый постоянный ток такого значения, чтобы рабочая точка находилась на падающем участке ВАХ, и затем воздействовать на HP синусоидальным напряжением или током малой амплитуды, то сопротивление Z(/o)), оказываемое HP синусоидальной составляющей малой амплитуды, будет представлять собой комплексное число. Опыт показывает, что при достаточно большой со действительная часть этого сопротивления оказывается положительной, т. е. Re Z(/a))> 0. Объясняется это тем, что физические процессы в самом HP являются процессами инерционными, причем инерционность (сдвиг фаз) сильнее проявляется с ростом частоты.

В одних HP инерционность вызвана тепловыми процессами, в других - процессами накопления энергии в электрическом и (или) магнитном полях, в третьих - процессами ионизации и деиониза-ции (которые также протекают не мгновенно), в четвертых - инерционностью процессов диффузии носителей тока и емкостью, обусловленной объемными зарядами. Но чаще всего инерционность есть следствие нескольких взаимно связанных друг с другом процессов. • ,

Таким образом, схема замещения HP, когда точка равновесия находится на падающем участке характеристики, по отношению к малым приращениям должна быть такой, чтобы при о)->-0 ReZ(/a)) = д„ф<0, а при о)-оо ReZ(/o))>0.

На рис. 17.2, а изображена одна из возможных схем замещения для HP с S-образной ВАХ (рис. 17.2, б), удовлетворяющая перечисленным условиям. В этой схеме - некоторая малая индуктивность, которую часто называют «паразитной», /?доб> диф1 > - некоторое добавочное активное сопротивление.

На рис. 17.2, в изображена одна из возможных схем замещения для HP с N-образной ВАХ (рис. 17.2, г), где - некоторая малая