а) Л t) г)

Рис. 18.1

ющиеся во времени (если в состав цепи входит хотя бы один изменяющийся во времени элемент, то она принадлежит к рассматриваемому классу цепей).

Угольный микрофон - пример изменяющегося во времени ре-зистивного элемента (рис. 18.1, а). Сопротивление его является функцией звукового давления, оказываемого мембраной на порошок графита. Индуктивная катущка с незамкнутым ферромагнитным сердечником, который выдвигается из катушки и вдвигается в нее (рис. 18.1, б), - пример переменного во времени индуктивного элемента. Конденсатор, пластины которого раздвигаются и сдвигаются, не соприкасаясь (рис. 18.1, в), - пример емкостного элемента, изменяющегося во времени. Две индуктивные катушки Lj и Lipwc. 18.1, г), взаимное расположение которых меняется во времени (например, если одна из них вращается вокруг своей оси, перпендикулярной рисунку), - пример взаимной индуктивности, меняющейся во времени.

Изменение параметров цепи во времени может происходить под действием внешней механической силы или чисто электрическим путем.

Параметр цепи может изменяться во времени периодически и непериодически. Рис. 18.2, а - в иллюстрирует несколько различных периодических законов изменения параметров.

§ 18.2. Общие свойства электрических цепей. Несмотря на то что цепи с переменными по времени параметрами являются линейными цепями (описываются линейными дифференциальными уравнениями), они обладают свойствами, сближающими их с нелинейными цепями.

Переменные во времени элементы цепи подобно нелинейным элементам являются генераторами высших гармоник тока и напряжения. В силу этого в цепях с переменными параметрами протекают токи не только тех частот, которые имеют источник вынуждающей силы и переменная составляющая изменяющегося во времени параметра, но и токи множества других частот.

Благодаря этому в цепях с переменными параметрами при наличии в их составе индуктивных и емкостных элементов могут возникать резонансные явления на высших и низших гармониках при отсутствии гармоник данной кратности у источника ЭДС.

Рис. 18.2

Рис. 18.3

Обратим внимание на то, что амплитуды отдельных гармоник тока в цепях с переменными параметрами линейно зависят от амплитуд остальных гармоник (в нелинейных цепях аналогичная зависимость нелинейна).

Наряду с этим цепи с переменными во времени параметрами обладают линейными свойствами, принципиально отличающими их от нелинейных цепей. В них амплитуды гармоник тока и напряжения пропорциональны амплитуде вынуждающей силы. Другими словами, если ЭДС источника увеличить вдвое, то и амплитуды токов и напряжений увеличатся вдвое. В цепях с нелинейными элементами, где имеет место насыщение, такой пропорциональности, как известно, нет.

Ранее отмечалось, что изменяющиеся во времени элементы цепи являются генераторами высших гармоник. Убедимся в этом на простейшем примере. На рис. 18.3 изображена схема, состоящая из источника постоянной ЭДС Е и резистора /?, сопротивление которого изменяется во времени в соответствии с кривой (рис. 18.2, б):

R{t) = Rl\ - (18.1)

fe<i . •

По закону Ома, ток в цепи

. (18.1а)

Щ) ~ Rq\- /fesinto/ г

Известно, что функция 1/(1 - л;) при а; <:1 может быть разложена в степенной ряд:

1/(1 jc)= 1 --jc4-jc2 + a:3+... (18.2)

Роль, которую играет л: в (18.2), в (18.1а) выполняет sinco/. Поэтому при k<i\

(18.3)

EIRq

= 1 + /fesinto/ + ftsinto/ + sino)/ + ... .

Воспользуемся известными из тригонометрии формулами

sina = 0,5(1 - cos2a); sina = - 0,25sin3a + 0,75sina;

sin% = 0,375 - 0,5cos2a + 0,125cos4a

и объединим слагаемые правой части ряда (18.3)с аргументами одинаковой кратности. В результате получим

(1 + 0,5А;2 + 0,375А;4 + ...) + ( + 0,25 + ...)sina)/ -

- {0,5k + 0,5k -\- ...) cos2(o/ - {0,25k + • -• )sin3a)i + ...

Таким образом, несмотря на то что в цепи (рис. 18.3) включен источник постоянной ЭДС, а переменная составляющая сопротивления резистора изменяется по закону синуса с частотой (о, ток имеет и высшие гармоники (частоты 2о), Зсо). Постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока нелинейно зависят от коэффициента k, но линейно зависят от ЭДС Е.

Обратим внимание также на то, что при кфО постоянная составляющая тока в цепи (рис. 18.3) не равна E/Rq, т. е. в схеме наблюдается своеобразный выпрямительный эффект.

Энергия, выделяющаяся в виде теплоты в цепи с переменными во времени параметрами, доставляется не только источниками ЭДС (тока), имеющимися в цепи, но и теми внешними источниками (например, механическими двигателями), которые совершают работу при изменении параметра (параметров) цепи.

Какую долю энергии доставляет источник ЭДС, а какую дает внешний источник, совершающий работу при изменении параметра, для каждой цепи с переменными параметрами следует рассматривать применительно к конкретным условиям. Доля энергии, доставляемая внешним источником, может составлять в одном предельном случае нуль, в другом- 100%.

§ (8.3. Расчет электрических цепей в установившемся режиме.

Если переменный параметр изменяется во времени периодически, претерпевая резкие скачкообразные изменения (см. рис. 18.2, а), то расчет цепей целесообразно проводить с помощью классического метода расчета переходных процессов. В этом случае постоянные интегрирования определяют, исходя из законов коммутации и периодичности процесса.

Если же переменный параметр изменяется так, что его можно представить в виде постоянной составляющей и одной или нескольких синусоидальных составляющих, то расчет производят, применяя метод гармонического баланса.

Метод гармонического баланса применительно к нелинейным цепям был рассмотрен в § 15.49. Основные его положения и здесь те же. Последовательность расчета такая: искомый ток (любая другая величина) изображают в виде ряда Фурье