Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) ( 72 ) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (72)


2т JT t

S)

2т t

Рис. 18.4

i = /о+ /nSin(o/+/,2cos{o/+/2,sin2{o/+/22COS2{0/ + ... .

Полученное выражение для тока подставляют в дифференциальное уравнение цепи и выделяют из него уравнение, выражающее собой равенство постоянных составляющих левой и правой его частей, уравнение, выражающее собой равенство синусных составляющих левой и правой частей, и т. д. Каждое из этих уравнений в общем случае содержит несколько неизвестных(/д,/,,, /,2, 2122) но является линейным уравнением относительно этих неизвестных (в этом отличие от нелинейных цепей). Далее решают систему линейных уравнений относительно /д, /,,, /,2, /21, /22-

Метод гармонического баланса можно применять к расчету цепей, содержащих несколько переменных во времени параметров (например, изменяющееся во времени резистивное сопротивление и изменяющуюся во времени индуктивность), причем характер изменения во времени ЭДС (тока) может быть по любому периодическому закону.

Пример 167. В схеме на рис. 18 4, а ЭДС £ источника ЭДС и индуктивность L катушки постоянны, а сопротивление резистора /?(/) меняется в соответствии с рис. 18.4, б. Определить закон изменения тока в установившемся режиме.

Решение. Так как сопротивление изменяется периодически, то и ток изменяется периодически Обозначим значение тока в момент /=0 через /2 В этот момент сопротивление цепи скачком возрастает от/?2До/?1 и ток в цепи начинает уменьшаться. В момент t=x ток принимает значение /, и сопротивление скачком уменьшается с /?j до /?2- Последнее приводит к тому, что ток начинает увеличиваться.

В первом интервале времени от /=0 до /=тток можно представить в виде суммы

принужденного £ ? и свободного CjCi токов, причем р,=-RJL - корень характеристического уравнения цепи /7£--/?,=0, С, - постоянная интегрирования. , Во втором интервале времени от t=x до /=2т

/=+С2еР2(-); P2=-R2/L.

Задача сводится к определению двух постоянных: С, и Сг, При /=0 =/2", следовательно,

l2=E/R,-tC. (18.4)



При t=x поэтому

Начальное значение тока для второго интервала времени /j можно найти и иначе:

(18.6)

К концу второго интервала времени, когда /=2т, /=/2,

/2=£ ?2+С2е2\ (18.7)

Приравнивая правые части уравнений (18.4) и (18.7), получим

Аналогично, из уравнений (18.5) и (18.6) следует, что

Совместное решение двух последних уравнений дает

а(1-е2). (18.8)

пг ЕЕ (18.9)

В первом интервале времени t=£ ?,-fC,ei, во втором i=£ ?2+C2e2(~4 Кривая i=f{t) показана на рис. 18.4, в.

Пример 168. В схеме на рис. 18.4, г ЭДС е=£+£51п((о/+ф), L=LQ{\-\-ks\n(iit){k<C\), сопротивление R не является функцией времени. Определить постоянную составляющую, а также первую и вторую гармоники тока.

Решение. В дифференциальное уравнение

А.. ... (18-10)

/?t4-Z.0=£+£mSn(o)/+t)

подставляем ток

t=/o+/lisin(o/+/,2cos(o/+/2,sin2(o<+/22cos2(o/. ( 18.11)

Выделив постоянную составляющую, получим уравнение

7?/о=£. (18.12)

Равенство коэффициентов при sinto/ в обеих частях (18.10) после подстановки в него (18.11) и деления на R дает

Ет (18.13)

/,,-а/,2-0,5/га/21=~со5ф.

Приравняв коэффициенты при cosaat (после деления на R), получим

Е„ (18.14)

«/,1+7,2-0,50/22=-а«/о+~"ф;





при sin2(o/

при cos2co/

Рис. 18.5

a/,,+/2,-2fl/52=0;

a/j2+2a/2i+/22- a=b3LQ/r.

(18.15)

(18.16) (18.17)

Из (18.12) следует, что в схеме на рис. 18.4, г постоянная составляющая тока /р не зависит от переменных составляющих индуктивности и ЭДС. Однако постоянная составляющая потокосцепления, равная Lq/q+0,5Lq/,, , зависит от амплитуды

первой гармоники переменного тока.

Это свойство в известном смысле напоминает первое из свойств нелинейных элементов с симметричными характеристиками, описанное в § 15.17.

Запишем решение уравнений (18.13) - (18.16):

Л2=-

2i=t/,,-v/,2; /22=Ai-t/i2;

En, Е

Л1=~со5ф; Л/=-!

ак а{\-\-Аа-аЧ)

l+4fl 1+4а

l+4fl2-0,5a2fe2

l+4fl 2ah

l+4fl

Изменяя постоянную ЭДС Е в схеме на рис. 18.4, г, можно управлять переменным током.

§ 18.4. Параметрические колебания. Возникающие в электрических цепях без источников ЭДС и источников тока незатухающие колебания, обусловленные периодическим изменением индуктивности или емкости системы, называют параметрическими. Колебания поддерживаются за счет работы механической силы при периодическом изменении параметра либо за счет энергии, вносимой в цепь при периодическом изменении параметра электрическим путем. Частота первой гармоники параметрических колебаний оказывается в два раза меньше частоты изменения параметра.

На рис. 18.5, а изображена простейшая цепь, в которой при определенных условиях возникают колебания рассматриваемого типа. Цепь состоит из катушки индуктивностью l, нелинейного резистора, ограничивающего амплитуду колебаний r{i)=rq-{-ki, и конденсатора, емкость которого изменяется во времени: С=Со-ACcos2a)/, AC/Cq< 1. (Предположение, что AC/Cq< 1, принято только для облегчения решения.)



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) ( 72 ) (73) (74) (75) (76) (77) (78)