Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) ( 20 ) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (20)

Переходная составляющая решения

(5.4)

где Я; -корни характеристического уравнения (полюсы системы); С; - постоянные интегрирования.

Действительному корню характеристического уравнения Я; в выражении (5.4) соответствует слагаемое г/ш(0 =б-Если Я,<0, то переходная составляющая с ростом времени стремится к нулю, если Я/>0, то эта составляющая неограниченно возрастает (рис. 5.1, а).


Рис. 5.1. К пояснению устойчивости системы РА:

а - переходные составляющие для вещественных корней: б - пары комплексно-сопряженных корней; в - пары мнимых корней

Паре комплексно-сопряженных корней уравнения (5.3) соответствует слагаемое

«/„,.(0 = Л, егsin (p,/-f!},,),

где yi±li - корни характеристического уравнения; Л,-, ф,- - постоянные интегрирования, определяемые через

При этом переходная составляющая стремится к нулю, если вещественные части корней отрицательны, в противном случае амплитуда колебаний переходной составляющей непрерывно возрастает (рис. 5.1,6).

Пара мнимых корней характеристического уравнения позволяет получить переходную составляющую в виде колебаний с постоянной амплитудой (рис. 5.1, в):

г/ш(0 = Л, sin(P,./ + Tl,;).

Таким образом, для устойчивости системы РА необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные знаки, или эти кор-



ни на плоскости комплексного переменного были распо* ложены слева от мнимой оси. Только при этом все слагаемые в выражении (5.4) будут стремиться к нулю.

Если корни характеристического уравнения расположены на мнимой оск, то система РА находится на границе устойчивости. При этом возможны два случая: корень в начале координат и пара мнимых корней. Нулевой корень появляется, когда свободный член характеристического уравнения равен нулю. Если остальные корни этого уравнения отрицательные, то система РА устойчива не относительно выходного сигнала, а относительно его производной, выходной сигнал в установившемся ре-л<име имеет произвольное значение. Такие системы называют нейтрально устойчивыми. В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней, границу устойчивости называют колебательной.

В большинстве случаев корни характеристического уравнения системы вычислить невозможно, поэтому были разработаны правила (критерии), позволяющие судить о располол<;ении корней на плоскости комплексного переменного без их расчета. Прежде чем воспользоваться для оценки устойчивости тем или иным критерием, следует проверить выполнение необходимого условия устойчивости, в соответствии с которым все коэффициенты характеристического уравнения (5.1) должны быть больше нуля. Для доказательства этого положения представим уравнение (5.1) в виде

ап{р-д{р->2)-{р-К)-- (5.5)

Если система устойчива, т. е. все корни %{ отрицательные, то, раскрыв скобки (в (5.5), получим уравнение с положительными коэффициентами. Если система неустойчива, т. е. хотя бы один из корней положительный, то, перемножив сомножители в (5.5), получим уравнение с несколькими отрицательными коэффициентами. В дальнейшем будем полагать, что необходимое условие устойчивости выполняется.

§ 5,2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА

Для оценки устойчивости системы РА по критерию Гурвица необходимо из коэффициентов характеристического уравнения (5.1) составить матрицу Гурвица. С этой целью уравнение (5.1) запишем в виде

а„ p"-f а„-1]о»-Ч-...+ ао = 0.



Матрица Гурвица имеет вид

0„, Ая 2, On-i..... о

о, ап-\, йп-ъ,..., О

(5.6)

0, а.

Порядок составления матрицы Гурвица следующий. В левом верхнем углу матрицы записывается коэффициент йл-ь по главной диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения с младшими индексами, над элементами главной диагонали записываются коэффициенты с убывающими индексами, под эле-Гу1ентами - с возрастающими.-

Для оценки устойчивости системы РА необходимо вычислить определители Гурвица, которые получают из матрицы (5.6) путем отчеркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы. Например, первый определитель

Al = Qn-u

второй

А, =

а„, ап-2

третий

Аз =

Йя-Ь йп-Ъ, ап-5

а„, ап-2, ап-4

(5.7) (5.8)

О, а„ 1, йп-з Система РА устойчива, если при a«>0

А,>0, Д2>0, Аз>0,..., Д„>0. Раскрыв An по последнему столбцу, получим

Ап = аоАп-1.

Так как ао>-0, то для проверки устойчивости системы достаточно уточнить знаки только до A« i определителя.

Если определитель Ап~0, то система РА находится на границе устойчивости. Возможны два случая: 1) свободный член характеристического уравнения равен нулю, что соответствует нейтрально устойчивой системе; 2) определить А„-1=0, что соответствует колебательной гра-



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) ( 20 ) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110)