Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) ( 21 ) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (21)

нице устойчивости. Из условия An-i -О можно определить параметры, при которых система РА находится на границе устойчивости. Например, можно вычислить критический коэффициент усиления Kkv, соответствующий границе устойчивости. Отношение

а - К,/К (5.9)

называют запасом устойчивости по усилению. Для нормального функционирования системы необходимо, чтобы а>2.

Пример 5.1. Найти условия устойчивости системы ФАПЧ (см. рис. 1.8), передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид

p(l+pn)(l+pVJ Решение. Характеристическое уравнение системы ФАПЧ

ТгТфяР + {Тг + Тфг)р + а+КТ,)р + КО. Матрицу Гурвица можно представить так:

"71 + 7Фд, К, О ГхГфд, 1+КТ„ О О + К

В соответствии с (5.7) условия устойчивости получаются следующими: Г1Гфд>0;Д1 = Г,-ЬГфд>0; А-- + (I + KT2)-KTJis,n> >0.

Первые два условия выполняются при любых значениях параметров, последнее -в том случае, когда

Из этого выражения следует, что форсирующее звено улучшает устойчивость системы, повышает критический коэффициент усиления. Действительно, если при 72=0 Ккр= 1/1+1/?фд, то при

фд + 1

§ 5.3. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Частотные критерии устойчивости базируются на принципе аргумента. Рассмотрим этот принцип, для чего запишем выражение для характеристического вектора, которое получим из характеристического уравнения (5.5) путем замены р на /ю:

G (/(о) = а„ (/(О - X,) (/(О - Х). ..(/о> - ?.„). (5.11)

На рис. 5.2 изображены сомножители характеристи-



ческого вектора. Определим изменение аргумента вектора G(/(u) при изменении частоты от -оо до --оо

А arg G (/о>) = У arg (/со -

Если корень характеристического уравнения Xi расположен на комплексной плоскости слева от мнимой оси, то вектор /ю-Я,- поворачивается на угол я, если этот корень находится на комплексной плоскости справа от мнимой оси, то вектор /ю-Ki поворачивается на угол -я. Допустим, что т корней характеристического уравнения распололсены справа от мнимой оси, а остальные п-т корней-слева. Тогда изменение аргумента характеристического вектора равно AargG(/tt)) = (п-2т)я. Это

выражение и определяет принцип аргумента. В устойчивой системе т=0, и изменение аргумента характеристического вектора получается следующим:

Д arg G(/o)) = п- . (5.12)

Из выражения (5.12) следует критерий устойчивости Михайлова, согласно которому изменение аргумента характеристического вектора определяется по годографу вектора, который записывают в виде

G (/(О) = t/(«) + №), где U{(i)), V(o})-действительная и мнимая части характеристического вектора.

Система РА устойчив, если годограф характеристического вектора, начинаясь на положительной части действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении п квадрантов, где п - порядок характеристического уровня системы.

Только в этом случае выполняется условие (5.12). На рис. 5.3, а-в, приведены примеры годографов для устойчивых и неустойчивых систем. Если годограф проходит через начало координат (рис. 5.3, в), то система находится на границе устойчивости. В этом случае

f/(o)ap) = 0, V(o>p) = 0. (5.13)

Из этих уравнений можно определить значения пара-


Рис, 5.2. к оценке изменения аргумента характеристического вектора



метров, при которых система находится на границе устойчивости.

Пример 5.2. Найти критическое значение коэффициента усиления которая рассматривалась в примере 5.1. в системе ФАПЧ,

/п-Э

Рис. 5.3. Общий вид характеристического вектора:

а - устойчивой системы; б - неустойчивой системы; я - системы на гра-нице устойчивости

Решение. Характеристический вектор определяется из выражения (5,10):

а (/со) =К-<ЦТ, + Гфд) + /со (1 -f КТ- ш= Гфд).

В соответствии с выражениями (5.13) условия, определяющие границу устойчивости, получаются следующими;

<рГ1+7фд) = о;

Следовательно,

Ti 7фд Гфд (Tj - Гг) -ТТ

При значениях коэффициента усиления меньше критического система ФАПЧ устойчива, в противном случае она неустойчива. На рис. 5.4 показан годограф характеристического вектора устойчивости системы ФАПЧ при Г,=0,1 с, Г2=0,04с, Гфд=0,005 с, /( = 200 с-.

На практике более широкое по сравнению с критерием Михайлова применение кащел частотный критерий Найквиста, который позволяет судить об устойчивости системы по частотным характеристикам разомкнутой системы. Рассмотрим случай, когда разомкнутая сис-

100

1 t 1

-800 -Ш

0 ш +

Рис. 5.4. Годограф характеристического вектора системы ФАПЧ



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) ( 21 ) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110)