Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) ( 22 ) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (22)

тема PA устойчива и не содержит интегрирующих звеньев. Для доказательства критерия Нанквиста введем вектор

iD(/ffl)+,V(/03)

/(/0))= 1+Гр{/.а,) =

(5.14)

D (/(О)

частотная характеристика разом к-

где Гр(/со)==

D (/(О)

нутой системы.

Числитель (5.14) является характеристическим век-тором замкнутой системы, а знаменатель - характеристическим вектором разомкнутой системы. Определим изменение аргумента вектора (5.14) для случая, когда замкнутая система устойчива:

Д arg /= (/О)) = А arg [D(/o)) +/V (/о)] - Л arg D(/co) = 0.

Таким образом, если разомкнутая и замкнутая системы устойчивы, то изменение аргумента вектора F(/o)) равно нулю, следовательно, его годограф не охватывает начала координат (рис. 5.5,а). В противном случае, ког-


Рис. 5.5. К выводу критерия устойчивости Найкаиста; а - годограф F (jm) устойчивой системы; б - годограф W р(/(о) устойчивой системы

да годограф /(/о)) охватывает начало координат, изменение его аргумента не равно нулю и система в замкнутом состоянии неустойчива. Очевидно, что об изменении аргумента вектора f (/ю) удобнее судить по годографу частотной характеристики разомкнутой системы. Действительно, изменение аргумента вектора f (/о)) будет равно нулю (рис. 5.5,6), если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1,/0). Отсюда следует формулировка критерия Найквиста.



Система PA, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-jO). В том случае, когда годограф частотной характеристики охватывает эту точку, система неустойчива.

Если система РА содержит v интегрирующих звеньев, то начальное значение фазочастотной характеристики

-V- ,а амплитудно-частотной - бесконечности,

равно

система в разомкнутом состоянии нейтральна. В таких

астатических системах для удобства оценки устойчивости годограф дополняют дугой бесконечного радиуса (рис. 5.6). Формулировка критер1гя устойчивости при этом не изменяется.

Если годограф частотной характеристики разомкнутой системы проходят через точку (-1, /0), то система в замкнутом состоянии находится на границе устойчивости.

Аналогичным образом доказывается критерий Найквиста и для случая, когда разомкнутая система неустойчива. При этом система в замкнутом состоянии будет устойчивой, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы m раз охватывает точку с координатами (-1,/0), где т - число полюсов разомкнутой системы, расположенных на комплексной плоскости справа от мнимой оси.


Рис. 5.6. Годограф WpC/w) астатической системы

§ 5.4. ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ

В процессе эксплуатации системы РА ее параметры (коэффициенты усиления, постоянные времени) из-за изменения внешних условий, колебаний напряжений источников энергии и других причин отличаются от расчетных значений. Если не принять определенных мер, то система РА может стать неустойчивой. Для исключения этого явления при проектировании следует обеспечить определенные запасы устойчивости системы, которые характеризуют близость годографа частотной характеристики



разомкнутой системы к точке с координатами (-1, /0). Запасы устойчивости определяются на двух частотах: частоте среза и критической частоте. На частоте среза АЧХ разомкнутой системы равна единице, на критической частоте ФЧХ принимает значение, равное -п.

Различают запас устойчивости по фазе и усилению. Запас устойчивости по фазе показывает, на какое значение ФЧХ разомкнутой системы на частоте среза отличается от -я (рис. 5.6);

Дф = л - фр (ор).

Запас устойчивости по усилению определяет, во сколько раз нужно увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости. Так как фазочастотная характеристика разомкнутой системы не зависит от коэффициента усиления, то при его изменении меняется только масштаб годографа, поэтому запас устойчивости по усилению вычисляется по формуле

" ~ I Wp(/(0„p) I *

Системы РА, годографы частотных характеристик которых пересекают вещественную ось только справа от точки с координатами (-1, /0) (рис. 5.6), называют абсолютно устойчивыми. В таких системах неустойчивость может наступить только при увеличении коэффициента усиления.

Если годограф частотной характеристики разомкнутой системы пересекает вещественную ось и слева от точки с координатами (-1, /0), то систему называют условно устойчивой (рис. 5.7). Неустойчивой такая система может быть как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.

Для нормальной работы системы РА необходимо, чтобы запас устойчивости по усилению, как указывалось ранее, был не менее двух, а запас устойчивости по фазе-0,5-1 рад.

Пример 5.3. Рассчитать запасы устойчивости в системе ФАПЧ, передаточная функция котсрой в разомкнутом состоянии определяется выражением (5.10). Параметры системы: 7" = 0,1 с; Г2=0,04 с; 7фд=0,005 с; А:=200 с".

Решение. АЧХ разомкнутой системы

1 (/(0) I = -



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) ( 22 ) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110)