Число слагаемых в последнем выражении ограничено, так как сигнал x(t) является медленно изменяющимся воздействием. Для нахождения неизвестных коэффициентов С,-, которые называют коэффициентами ошибки, известны три способа. Первым способом эти коэффициенты вычисляются по формуле

= W/,(p)p=o.

Вторым способом коэффициенты ошибок находятся путем деления числителя передаточной функции ошибки на ее знаменатель.

Наиболее удобным является третий способ. Передаточную функцию ошибки представим в виде W (р) = Р" + Ьп-1 Р"- +... + Ь,р-\-bp

Перемножив полином знаменателя последнего выражения на (6.8), получим

["пР" -f fln-ip"- +...--Й1р-ь Oq] [Ca + Cip + ~Cp +

+ ...+ С,рЧ = Ь„р" + b„ ,p"-i+...+ bjp + bo. (6.10)

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р слева и справа в выражении (6.10), определим формулы для последовательного вычисления коэффициентов ошибок. В результате найдем, что

Со = -; С, = -1-1Ь,~.а,С,],

C2 = ~[h-a,Co-a С J.

Из выражения (6.9) следует, что коэффициенты ошибок имеют размерность с.

В инженерных расчетах коэффициенты ошибок удобнее рассчитывать через коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы:

""Р- рУ bnP + ...-bb,p + b,p + b, -

В табл. 6.1 приведены формулы для расчета первых трех коэффициентов ошибок статических и астатических систем РА через параметры передаточной функции (6.11).

Таблица 6.1

Формулы для ргхчета

(1 + ЛТ

bi~d, К

Первое слагаемое в выражении (6.9) называют ошибкой по положению, а коэффициент Со - коэффициентом ошибки по положению, второе слагаемое - ошибкой по скорости, а коэффициент Ci - коэффициентом ошибки по скорости. Аналогично, третье слагаемое в (6.9) называют ошибкой по ускорению, а коэффициент С2 -коэффициентом ошибки по ускорению.

Учитывая особенности передаточных функций астатических систем РА, нетрудно установить, что в таких системах v первых коэффициентов ошибок равны нулю, где V - порядок астатизма системы РА.

При анализе качества работы систем РА помимо вычисления ошибок при медленно изменяющихся сигналах приходится оценивать точность и при гармонических воздействиях. В этом случае нельзя применять метод коэффициентов ошибок, так как число производных от гар-

монического сигнала не ограничено. Очевидно, что при этом для расчета ошибок необходимо использовать частотные характеристики. По АЧХ ошибки вычисляется амплитуда колебаний ошибки, а по ФЧХ - сдвиг колебаний ошибки относителньо входного сигнала.

Пример 6.3. Найти динамическую ошибку при входном сигнале

X (t) = ait -\- - аз/? следящей системы, передаточная функция ко-

торой в разомкнутом состоянии Wp(p)= - --- , ,, ,-- •

Решение. Коэффициенты ошибок вычисляются по формулам табл. 6.1 для Сц = 0; Cj = -- ; = 2

Динамическая ошибка системы в соответствии с выражением

(6.9)

+ Тз~Т 1

К К.

Из этого выражения следует, что при увеличении коэффициента усиления системы и введении форсирующего звена ошибка уменьшается, увеличение же постоянных времени инерционных звеньев ухудшает динамическую ошибку системы.

§ 65. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА СИСТЕМЫ

Качество работы систем РА при случайных воздействиях оценивается по суммарной средней квадратической ошибке. В большинстве случаев закон распределения ошибки системы можно считать гауссовским, поэтому для расчета составляющих суммарной средней квадратической ошибки достаточно учесть математическое ожидание и корреляционную функцию ошибки или ее спектральную плотность.

Прежде чем рассматривать методы вычисления суммарной средней квадратической ошибки, установим, через какие передаточные функции в выражение для суммарной ошибки входят сигнал и помеха, полагая, что на вход системы подается воздействие вида

fH)=x(i) + n{t),

где x(t) - случайный сигнал; n(t) - случайная помеха. Суммарная ошибка системы (рис. 6.6)

eit) = x{t)-y(0,

где y(t) - выходной сигнал системы.