Преобразование Лапласа для суммарной ошибки

Е(р)-=Х (р) - (р) F (р) = (р) X (р) -Н7з (р)п (р), (6.12)

где 13(р) - передаточная функция замкнутой системы; We(p) ~ передаточная функция ошибки анализируемой системы; Х{р), п {р) -

n(tl

y(tl

e(tl

Рис. 6.6. к определению ошибки

суммарной

преобразования Лапласа для сигнала и помехи.

Из выражения (6.12) следует, что суммарная ошибка состоит из двух составляющих, одна из которых, определяющая точность воспроизведения сигнала, зависит от передаточной функции ошибки, вторая, обусловленная действием помехи, - от передаточной функции замкнутой системы.

При анализе средней квадратической ошибки ограничимся случаем, когда сигнал и помеха являются стационарными случайными функциями. При этом математическое ожидание помехи будем полагать нулю, а случайный сигнал представим в виде

где гпх - математическое ожидание сигнала; x(t) - случайная составляющая сигнала.

Математическое ожидание суммарной ошибки рассчитывают по теореме о конечном значении функции (см. приложение П.1):

m, = UmpWJp)m,{p). (6.13)

Точность системы относительно случайных составляющих сигнала и помехи оценивается дисперсией ошибки

al = M[e(t)] = R,{T)

т=С,

(6.14)

где Ое-дисперсия ошибки; Ое-средняя квадратическая ошибка системы; e(t) - ошибка системы; М - математическое ожидание от квадрата ошибки; Reit) - автокорреляционная функция ошибки.

На основании эргодической теоремы автокорреляционную функцию ошибки находят как среднее по времени

от произведения случайных составляющих ошибки, разделенных промежутком времени т:

Re () = е (/) ° (/ + т) - lim г °е (i) 1{1 + т) dt, (6.15)

где e(t)=x(i)-y(t)-случайная составляющая суммарной ошибки.

По теореме свертки (см. приложение П.1), согласно (6.12),

е(0= J[wA>fx{t-k)-wi%)n{t-%)]u%; (6.i6)

е( + т)= J lw,{i-\)x{i + t - r\}-w{r])/i(/ + x - r])]dr],

- оо

где We(() - импульсная переходная функция ошибки-системы; Wa(t) - импульсная переходная функция замкнутой системы.

Так как рассматривают стационарный режим работал системы, то интегрирование в выражениях (6.16) берут от минус бесконечности.

Подставив выражения (6.16) в (6.15), после несложных преобразований найдем автокорреляционную функцию ошибки:

оо оо ;

-оо -оо

-Ь {%)W,(ц) RA + l-y\) + w,(К)W,(Г))X

X (т + X-т)) 4-Шз(Ц(11) (х + К- Ц)] dk йц, (6.17)

где Rx{x) - автокорреляционная функция сигнала; .п(т) - автокорреляционная функция помехи; 7?л;п(г), Rnxix) - взаимные корреляционные функции.

Подставив в последнее выралсение вместо т нуль, по-; лучим дисперсию ошибки системы:

оа со

(1 =1 j [ () (П) -m + W, (>0 3 in) К X

- 00 -оо

X (X -11) + (К) (т1) R, (к - Г)) + + 3 (Я) (ri) R (К - ri)] dX dn = ol -{- al + a + o.

(6.18)

Дисперсия ошибки может быть вычислена и через ее спектральную плотность, которая, как известно, равна преобразованию Фурье от автокорреляционной функции ошибки системы (6.17):

5Л«)= f /?,()e-"dC.

Подставив в это выражение формулу (6.17), определим спектральную плотность ошибки системы:

SeH = I WJja) Р5,(а)) + I W,iM i 5„(a)) +

+ (- /со) Гз (/со) 5,д (со) + Г, (/со)Т« (- /О)) (со), (6.19)

где 5((й) -спектральная плотность сигнала; Sn(co) - спектральная плотность помехи; 5.tn(co), 5„л((й) - взаимные спектральные плотности. Так как

(т) = -i- J 5 (со) е-/> dco,

то в соответствии с выражением (6.14) дисперсия ошибки

I I ГЛ/со) rSJco) + 1 W,{i(o) 1 S,(co)+

V (- /(О) Гз (/со) (со) + (/со) Гз (- /со) (со)] dco =

= < + <у;п + <п + <.- (6-20)

Если сигнал и помеха некоррелированы, то Rxnix) = =Рпх{т)==0; 5л:п(со) =5пх(со) ==0 и выражения (6.16) - (6.20) упрощаются.

Первое слагаемое в (6.20) зависит как от АЧХ ошибки системы, так и от статистических характеристик сигнала, оно определяет среднюю квадратическую ошибку воспроизведения сигнала x(t). Второе слагаемое в (6.20) зависит от АЧХ замкнутой системы и характеристик помехи, оно характеризует ошибку системы вследствие действия помехи n(t). Последние два слагаемых в (6.20) - составляющие ошибки из-за корреляции сигнала с помехой и помехи с сигналом.

Величину

a = lm] + oiyi (6.21)

называют суммарной средней квадратической ошибкой системы РА.