Рассмотрим методику составления векторных дифференциальных уравнений для систем РА с одним входом и одним выходом, передаточная функция которых

W (р) = пР" + Ьп-1 р"- + ---+Ь

Такой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение

г/<"> (О + а„ , у"- {i)+...+ a,y(i) = л;<"> {t) +

+ bn,x"-{t)+...+ Kx(t). (8.1)

Введем следующее обозначение:

У (О = г. (0 + 0 (О- (8.2)

Составим систему дифференциальных уравнений;

Ziit)-=zAt) + h,x(t);

zAi) = zAi) + h,x{i); (8.3)

г„ (/) = - йо 2i (/) - а. (t)-...- г„ (t) + hx (i).

Коэффициенты Л,- находят из условия эквивалентности системы уравнений (8.3) исходному уравнению (8.1). Согласно (8.3),

zAi) = z,il)-h,x(t); Z, (О = h (t) -h,x (О = z\ (О -hx it) -h,x (0;

г„ (/) = it) - x it) = г<"-> (О - X

Xhix--if). (8.4)

Продифференцировав г„(0 в (8.4) с учетом последнего уравнения системы (8.3), получим

гГ> (О - 2 < (О =- 2 + + (О- (8.5)

(=1 (=0

Подставив в последнее выражение соотношение (8.2) и сгруппировав слагаемые при одинаковых порядках производных от Zi(/) в левой и от х(/) в правой части, най-

дем дифференциальное уравнение системы в виде

(/) + 2 й, if it) = h (О + {К + h (О +

-f {h + /го ап-2 + fti fln-i) (О +.-.+ (п + «о +

+ ...+ hn-ia„ ,)x(0. (8.6)

Приравняв коэффициенты при одинаковых порядках производных в уравнениях (8.1) и (8.6), запишем

= -ftoG„ i; (8.7)

Из введенной системы уравнений (8.3) следует, что производные Zi{t) не зависят от производных входного сигнала x{t).

Переменные Zi{t) в системе уравнений (8.3) можно рассматривать как составляющие вектора

Z{t)[z,{t),zAt).....zM

где индекс Т определяет операцию транспонирования матрицы.

Вектор Z{t) называют вектором состояния системы, а его составляющие 2, (/) -переменными состояния. В пространстве, осями координат которого являются переменные состояния, каждому моменту времени соответствует вектор Z(). Величина и положение этого вектора с течением времени изменяются, в результате чего вектор Z(/) описывает кривую, называемую траекторией двиоюения системы о пространстве состояний.

Систему уравнений (8.3) можно записать в виде следующего векторного дифференциального уравнения:

Z(0 = А2(0 + Вх(0. (8.8)

Выражение (8.2) определяет уравнение выхода системы

y{t) = eZ{t) + h,x{i).

(8.9)

Здесь

О, О,

1, О,

О.....

1.....

- - «о, - Oi, -.....-

матрица системы размером пХ«;

- матрица управления размером «XI;

"I

- матрица наблюдения размером пХ1-

Элементы матрицы системы А определяются структурной схемой системы и значениями ее параметров. Матри-ца управления В характеризует влияние на переменные состояния входного сигнала, а матрица наблюдения С- связь выходного сигнала системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т. е, они могут быть измерены с помощью каких-либо датчиков, в то время как выходной сигнал всегда наблюдаем.

В реальных системах РА степень полинома числителя передаточной функции меньше степени полинома ее знаменателя, поэтому /io==-0 и ряд коэффициентов й,- оказывается равным нулю. При этом матрица управления

в = [0,...,hn„u...,hj,

где т - порядок полинома числителя передаточной фупк-цпи системы.

В общем случае система РА имеет г входов и / выходов. Матрица системы А не изменяется по сравнению с матрицей систем с одним входом. Матрица управления В становится прямоугольной размером пХг, а матрица наблюдения С - прямоугольной размером пХ/.

На рис. 8.1 показана структурная схема системы РА, соответствующая векторному дифференциальному уравнению (8.8); двойные линии на рисунке характеризуют векторные связи. На рис. 8.2 изображена схема, составленная из интеграторов; введенные переменные состояния- это сигналы на выходах интеграторов.

Следует иметь в виду, что выбор переменных состояния это неоднозначная операция. Для иллюстрации это