Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) ( 47 ) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (47)

стационарные сигнал и помеха, автокорреляционные функции которых известны. Математические ожидания сигнала и помехи равны нулю. Желаемый выходной сигнал синтезируемой системы определяется заданной частотной характеристикой. Необходимо найти передаточную функцию системы, при которой суммарная средняя квадратическая ошибка системы (см. рис. 9.1) минимальна:

=г V(t) = mm, (9.12)

где е{1)=уж{1)-у{1) - ошибка системы; г/ж (О - желаемый выходной сигнал системы; y{t) -выходной сигнал системы.

Рассмотрим задачу оптимальной фильтрации. В этом случае

Гж(/со)= 1, т. е.

yAt) = x(t). (9.13)

Согласно (9.12), дисперсия ошибки

a=[x{t)-y(t)Y<,l + al-2oly. (9.14)

Дисперсию выходного сигнала синтезируемой системы РА оу найдем аналогично дисперсии ошибки системы (6.18);

00 оо

4= f ш(?ь) j 1ю{ц)П{к - г\)Аг\Ак, (9.15)

-оо -оо

гдеш()-импульсная переходная функция системы; /?f(T) - автокорреляционная функция суммарного входного сигнала / {t) ==х {t) +п [t); n(t) - помеха. Таким же образом получим

(Тед- J w{K)R{X)dX, (9.16)

- оо

где Rxfix) - взаимная корреляционная функция сигнала с суммарным воздействием.

Подставив выражения (9.15) и (9.16) в (9.14), определим

оо оо

ol = al+ f wi%) J w{n)R{K - r\)dr\dK -

-00 - OO

-2 j w{%)R(K)dK (9.17)

- OO



Синтез оптимальной системы сводится к нахождению импульсной переходной функции из (9.17). Для решения этой задачи дадим вариацию импульсной переходной функции

w{t)w,{t) + 8w{t), (9.18)

где Wo{i) - искомая оптимальная импульсная переходная функция проектируемой системы РА; б -вариация импульсной переходной функции.

Импульсную переходную функцию, минимизирующую дисперсию ошибки (9.17), определим из условия

-?-о2 =0. (9.19)

Подставим формулу (9.18) в (9.17). Тогда оптимальная импульсная переходная функция проектируемой системы РА с учетом (9.19) должна удовлетворять уравнению

2] w{k) ] W,(11) R,(X - 11)dri - R.f (l)

dX=0: (9.20)

Так как неоптимальная импульсная переходная функция да (О-функция произвольная, то уравнение (9.20) выполняется только в том случае, когда

j W, (ri) R (t - л) dri - Rr, (0 = 0, (9.21)

где переменная 1 заменена на t.

Выражение (9.21) называют уравнением Винера - Хопфа.

Средняя квадратическая ошибка выделения сигнала из воздействия в установившемся режиме -постоянная величина, ее значение определяется из выражения (9.17), в котором вместо w{t) нужно подставить Wo{t). Тогда с учетом уравнения (9.21)

ОО ОО

aLin = ff- f j ffio(ii)/?y(-il)dnd?i.(9.22)

-00 -00

Решение уравнения Винера - Хопфа во временной области является сложной задачей. Значительно проще решить эту задачу в частотной области, т. е. найти оптимальную частотную характеристику системы. С этой целью применим к уравнению (9.21) преобразование



Фурье. В результате получим

Го{/ш)5/И = 5,И. (9.23)

Из этого уравнения найдем оптимальную частотную характеристику:,

Wijo,) = =--, (9.24)

5/(03) ф(/о)),,(-/ш)

где (со)-спектральная плотность суммарного сигнала на входе проектируемой системы; Sxf((o) - взаимная спектральная плотность сигнала с суммарным сигналом; \}(/(о) -функция, все полюсы которой на плоскости комплексного переменного /7=/(о расположены в левой полуплоскости; ilp{-/(о) -функция, все полюсы которой расположены в правой полуплоскости. В общем случае

5Д(о) = 5Л«) + 5,.„(аз);

5/ (со) = (ю) + 5,„ (с)) + S„ (ш) + ((»). (9.25)

Если сигнал и помеха некоррелированы, то

S,/((fl) = S,(cu);

S/(co) = S,(co) + S„((o). (9.26)

Из выражений (9.24) - (9.26) следует, что оптимальная частотная характеристика выделяет составляющие сигнала на частотах, на которых его спектральная плотность сравнительно велика, и ослабляет составляющие сигналы на частотах с максимальной спектральной плотностью помехи.

С учетом оптимальной частотной характеристики минимальное значение дисперсии ошибки для некоррелированных сигнала и помехи в соответствии с выражением (6.20)

Sx (со) 5д (О)) Sx (ш) -f Sn (ш)

do). (9.27)

Таким образом, если спектры сигнала и помехи не перекрываются, то средняя квадратическая ошибка может быть равна нулю.

Спектральная плотность является четной функцией относительно частоты (О, поэтому полюсы характеристики (9.24) расположены на плоскости /?=/(о-как слева, так и справа от мнимой оси. Поэтому найденная оптимальная частотная характеристика (9.24) соответствует физи-



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) ( 47 ) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110)