Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) ( 51 ) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (51)

вида ut(t)=u{0)[l{t)-\{t-T)], откуда передаточная функция преобразования

где L[u(0)б (0]=«(0) - преобразование Лапласа для мгновенного импульса в момент времени t=0.

Устройство, которому соответствует передаточная функция (10.5), называют формирующим элементом или экстраполятором нулевого порядка.

Представление цифровой части системы РА в виде дискретизатора, цифрового фильтра и формирующего элемента позволяет использовать для анализа и синтеза цифровых систем математический аппарат дискретных систем, который к настоящему времени разработан достаточно полно.

§ 10.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

На математическом аппарате Z-преобразования строится современная теория дискретных и цифровых систем РА. С целью определения Z-преобразования найдем преобразование Лапласа последовательности мгновенных импульсов (10.4). В результате получим

X (р) = J X* if) d/ = 2 х(пТ) е-"". (10.6)

функцию xinT) называют дискретной. Введем обозначение qp-z. Тогда выражение (10.6) принимает вид

Xiz) = xinT)z- ==Zlxit)]. (10.7)

Функцию Xiz) называют -преобразованием сигнала xit).

Пример 10.1. Определить Z-преобразование сигнала x{t) = Ht). Решение. В соответствии с (10.7)

В этом выражении применена формула геометрической прогрессии. В приложении П.З приведены 2-преобразования сигналов, наи-



более часто используемых в системах РА. Более полная таблица при-ведена в [5] •

Свойства Z-преобразования описаны в [5], поэтому ограничимся указанием некоторых из них, которые требуются для дальнейшего изложения.

1. Свойство линейности. Если Xi{z)=Z[x\{t)\

Z [ах, (/) -f bx it)] = flXj (г) + bX (г). (10.8)

2. Первая теорема смещения. Если X{z) =Z[x{t)\, то для целых k

Z[x{t-kT)]z-iX{z). (10.9)

3. Вторая теорема смещения. Если X{z)=Z[x{t)\ то для целых k

Z[x(t+ кТ)] = г>

(10.10)

Х{г)- х{пТ)г~-

4. Свертка функций. Если Y[z)=X\{z)X2(z), то

(«71 = 2 х,{пТ - тТ)х,{тТ). (10.11)

5. Предельные значения. Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то они могут быть найдены путем следующего предельного перехода:

\т X {пТ) = Ш-Х(г). (10.12)

п->оо г->1 г

Начальное значение сигнала вычисляют по формуле \\тх(пТ) = Х\тХ{г). (10.13)

6. Формула обращения. Дискретные значения функции по ее Z-преобразованию определяют следующим контурным интегралом;

л(лГ)=: j)X{z)z-6z. (10 14)

u-l=i

Ранее определили Z-преобразование для случая, когда возникновение сигнала совпадает с моментом очередной посылки единичных импульсов несущей. Если сигнал запаздывает на АГ, то последовательность мгновенных импульсов имеет вид

x*{t) = x{t-AT)b{t-nT). (10.15)



При этом Z-преобразование вычисляется по формуле

Х(г)==х{пТ- ATjz-". (10.16)

Выражение (10.16) характеризует Z-преобразованне запаздывающих сигналов или модифицированное Z-преобразование. В приложении П.З приведены модифицированные Z-преобразования для наиболее часто встречающихся сигналов; более полные таблицы приведены в [5].

Непосредственно из выражений (10.7) и (10.16) следует, что Z-преобразование несмещенного сигнала определяется через Z-преобразоваиие запаздывающего сигнала с помощью следующего предельного перехода:

Х{г) = lim zX(2, AT) (10.17)

Помимо рассмотренного математического аппарата Z-преобразования для исследования цифровых систем РА применяется аппарат дискретного преобразования Лапласа, который подробно рассмотрен в [20].

§ 10.4. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ РАЗОМКНУТЫХ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ

Первоначально найдем передаточную функцию системы, структурная схема которой показана на рис. 10.7.

пт

y(tl

Рис. 10.7. Структурная схема импульсного фильтра

Подобные системы называют импульсными фильтрами. Импульсный фильтр состоит из объекта управления, непрерывной части, формирующего элемента и дискретизатора. Непрерывная часть и формирующий элемент образуют приведенную непрерывную часть импульсного фильта, на вход которой подаются мгновенные импульсы. Выходной сигнал импульсного фильтра равен сумме реакций приведенной непрерывной части от каждого



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) ( 51 ) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110)