ГЛАВА 11

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

§ 11.1. ВЕКТОРНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ

Современная теория дискретных систем РА, так же как и непрерывных, базируется на описании процессов в пространстве состояний. Познакомимся с методами математического описания в пространстве состояний систем РА с одним входом и одним выходом.

Рассмотрим системы, дискретные передаточные функции которых имеют вид

где x{t) - входной сигнал; y{t) -выходной сигнал.

Передаточной функции (11.1) соответствует разностное уравнение

у{п + 1) +at-y{n + l-{)+...+ааУ{п) =

= c„,x{nJrm) + Cm-\x{nJrm-\)+-...+ cx{n). (11.2)

В аргументах выражения (11.2) для сокращения записи множитель Т опущен, также будем поступать и дальше.

Введем обозначение

у{п)=8Лп)+Кх{п) (П.З)

и составим следующую систему из разностных уравнений первого порядка:

g,(rt-b \) g.An) + Kx{n);

gz{n + \)=g,(f) + KHn); (11.4)

gf,(«+ 1) = 0(,gfj(rt) -aj„(rt)-a, ,r,(rt) +/ijjr(rt).

Неизвестные коэффициенты h{ в системе уравнений (11.4) определяют из условия эквивалентности системы разностных уравнений (11.4) исходному разностному уравнению (11.2) и вычисляют последовательно по формулам;

h = Ci,

(11.5)

Уравнения (И.З) и (11.4) перепишем в матричной форме:

G{n + \) = AG(n) + Bx{ny.

(11.6) (11.7)

G(n) =

- вектор переменных состояния размером /Х1;

О, 1, О..... О

0. О, 1,..., О

•flo. - -02,..., - fli-I

- матрица системы размером 1X1;

- матрица управления размером /XI;

"1

- матрица наблюдения размером lyl; С -транспонированная матрица наблюдения; /-порядок системы.

Выражение (11.6) называют векторным разностным-уравнением системы, а выражение (11.7)- уравнением выхода.

Для пояснения физического смысла введенных переменных состояния на рис. 11.1, а изображена структурная схема, составленная по уравнениям (11.6) и (11.7),

которая отличается от схемы непрерывной системы (см, рис. 8.1) тем, что в схеме цифровой системы вместо векторного интегратора введен вектор запаздывания. На рис. 11.1,6 показана структурная схема, в которой изображены все составляющие вектора состояния. Из этой

Рис. 11.1. Структурная схема цифровой системы:

с - в векторной форме; б - в переменных состояния

схемы ВИДНО, что переменные состояния - это дискретные значения сигнала в текущий момент времени и /-1 его значения в предыдущие моменты времени.

Аналогично непрерывным системам составляющие вектора переменных состояний gi{n) можно рассматривать как оси координат многомерного пространства состояния системы. С течением времени вектор состояния изменяет свое значение и положение, его конец описывает в пространстве состояния некоторую кривую, называемую траекторией движения системы. Очевидно, что эта траектория зависит от начального состояния и входного сигнала.

Матрица системы А определяет устойчивость и другие показатели качества работы системы, матрица управления В характеризует влияние на переменные состояния входного сигнала, а матрица наблюдения С устанавлива-