Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) ( 72 ) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (72)

Для стационарных систем

Ф{п, 0) = Ф{п) = А" .

Полное решение векторного разностного уравнения (11.12) найдем путем следующих последовательных вычислений:

G(1) = A(0)G(0) + B(0)X(0); G(2) = A(l)G(l) + B(l)X(l) = A(l)A(0)G(0)-{-+ Л(1)В(0)Х(0) + В(1)Х(1);

G(«) = "П A(0G(0) + 2

{=0 i=0

В (OX (О,

П А(/)

L/=i+i

или, учитывая введенную дискретную матрицу перехода, 0(tt) = 0(tt)G(0) + 2 -1)В(0Х(0. (11.17)

В аналого-цифровых системах РА, где имеется непрерывная часть, дискретную матрицу перехода можно определить путем дискретизации непрерывных уравнений (8.8) и (8.9), описывающих процессы, происходящие в системе. Положим, что входной сигнал непрерывной системы X(f) может быть принят постоянным между дискретными моментами времени, чего можно достичь соответствующим выбором периода дискретизации. Рассмотрим интервал времени tntt„+i, на котором вектор переменных состояния известен. Тогда из уравнения (8.24) следует, что

Z (/„+,) = Ф (/„+,, /„) Z (tn) + Г Ф {tn+u т) В (т) X (т) dT.

(11.18)

Введем следующие обозначения:

Z (U = G(«),Z (/„+,) = G(«+ 1); (11.19)

Ф(/„+ь/п) = Ф(«+1,«); j Ф(„+„т)В(т)

= Г(л+ l,/i). Уравнение (11.18) можно записать в виде G(n+ 1) = Ф(/г+ 1, п)С{п) + Г{п+1,п)Х{п),(П.20)



где Г(«--1, п) - матрица перехода по управлению.

Уравнение (11.20) совместно с уравнением выхода (11.13) используется и для анализа процессов в непрерывных системах РА с помощью ЦВМ.

Для стационарных систем дискретная матрица перехода может быть найдена с помощью Z-преобразования, которое следует применить к уравнению (11.6). В результате получим

2С(г) = А0(г)+ У(г) + гО(0),

где V(z) = BX(2); G(0) - начальное состояние системы. Согласно последнему выражению,

G (г) = Ы - А]-1 V (г) + [г! - А]- zG (0). (11.21)

Обратное Z-преобразование от уравнения (11.21), осуществленное с учетом теоремы (10.11), позволяет определить

G(n) = 2 Ф(«-1 -т)У(т) + Ф(/г)О(0),

0(/г+ 1) = 2 Ф{п - т)\{т) + Ф(п+ l)G(O), (11.22)

m==0

где ®(n)=Z-{[2l-А]->г}.

Матрицу [zl-Л] называют характеристической, определитель этой матрицы является характеристическим уравнением системы.

Пример 11.2. Найти дискретную матрицу перехода для системы, рассмотренной в примере 11.1..

Решение. Система описывается разностными уравнениями (11.8), ее характеристическая матрица имеет вид

г, - 1 "

.0,125, г-0,75

zl - А =

Матрица, обратная характеристической (см. приложение П.4),

(г-0,5) (г-0,25)

г -0,75, Г [-0,125. г.

хода

Согласно теореме о вычетах (10.46), дискретная матрица пере-

Ф(«) =

2(0,25)"-(0,5)", -4 (0,25)"+ 4 (0,5)" 0,5(0,25)"-0,5(0,5)", - (0,25)"-f 2 (0,5)".



. 2.-.. (11.23)

IV=

§ П.З. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО ДИСКРЕТНОГО ФИЛЬТРА

Современные методы расчета оптимальных фильтров основываются на том, что случайные сигналы генерируются из белого шума с помощью формирующих фильтров. Для стационарных случайных сигналов может быть найдена дискретная передаточная функция формирующего фильтра. Для этого необходимо спектральную плотность дискретного случайного сигнала представить в виде произведения двух комплексно-сопряженных функций:

Siv) = NWфijv)Wф{-jv),

где йф (/у) - частотная характеристика формирующего фильтра относительно псевдочастоты; - интенсивность белого шума на входе формирующего фильтра.

Для математического описания сигнала при решении оптимальных задач используется передаточная функция формирующего фильтра в виде Z-преобразования

Т г+1

Передаточная функция (11.23) определяет векторное разностное уравнение формирующего фильтра.

Решение оптимальной задачи заключается в определении оценки вектора переменных состояния формирующего фильтра сигнала и ошибки оценки

E(rt ) = G(rt) - G (« •). (11.24)

Следовательно, G (n/j) и Е (n/j) определяются в дискретные моменты времени t==nT на основании их / предыдущих значений. Различают три случая:

1) если n>j, то задачу оценки называют предсказанием;

2) если «=/, то задачу оценки называют задачей фильтрации;

3) если «</, то задачу оценки считают задачей интерполяции.

В дальнейшем рассматривается задача фильтрации. После предварительных замечаний, сформулируем задачу синтеза оптимальных фильтров (рис. 11.3).

Полагаем, что случайный дискретный сигнал Х{п) является результатом прохождения белого шума через формирующий фильтр, векторное разностное уравнение



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) ( 72 ) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110)