Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) ( 74 ) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (74)

Рассмотрим второй сомножитель матрицы усилений (11.35). С учетом выражения (11.39)

R?y«=Af[F(/i+ l/n)F{n+l/n)] = M{lC{n+l)E{n + + l/n) + N{n+ l)][CT(n+ 1)Е{п+ l/n) + fi{n+ l)]T\,

Г(пН/п)

Gimi/n)

Рис. 11.4. Структурная схема оптимального фильтра

После выполнения операций умножения получим R = С(п+ l)R(n+ 1/«)С(«+ 1) + С(п +

+ 1)М[Е(/г+ l/n)N"(tt-f l)] + M[N(n+ I)] х

xE"(n+1 г)] + Р(л+1), (11.40)

где RE(«+l/«)=M[E(n+l/tt)Er(tt+l/«)] - матрица корреляционных моментов ошибки; Р («+1) - матрица интенсивности вектора помехи.

Второе и третье слагаемое в (11.40) равны нулю. Действительно, принимая во внимание вектор ошибки, из уравнения (11.39) можно записать, что

M[E{n+\ln)W{n-\- l)] = M[G(n+ 1)-G(n +

+ \ln)\W{n + 1)} = M[G(rt+ \)W(n+ 1) -

- M[G(«+ l/tt)N(n+ 1)].

(11.41)

Вектор переменных состояния и вектор помех некоррелированы между собой, поэтому первое слагаемое

в (11.41) равно нулю, л

Оценку G(n-f 1/tt) с учетом выражения (11.16) представим в виде

G (« -Ь 1/п) = П А (О G {п1п), (11.42)



где A(i) - матрица формирующего фильтра сигнала.

Так как начальное состояние оценки вектора неременных состояния сигнала равно нулю, то выражение (11.42) также равно нулю. Поэтому второе слагаемое в (11.41) равно нулю и матрица корреляционных моментов (11.40) получается следующей:

R-Cn-f l)R{n+Vn)C{n+l) + P{n+l). (11.43)

Рассмотрим первый сомножитель матрицы усиления (11.35). Согласно (11.39),

Rp. = М{[Е{п+ \/п) + 0{п-\- \1п)][СТ{п + 1)Е(п +

+ l/tt) + N(« + 1)F}. Раскрыв в этом выражении скобки, найдем, что R» =М[Е{п+ \/п)Е?"(п + Уп)] С{п+\) +

+ M[G{n+ 1/п)ЕГ(п+ 1/п)]С(п+ 1) + М [Е(п +

+ 1/п) N?" (« + 1)] + МIG (tt + l/n) NJ" (п + 1)1.

Так как оценка вектора переменных состояния не зависит от E(tt-fl/n) при любых п, то второе и третье слагаемые в последнем выражении равны нулю. В соответствии с (11.41) оказывается равным нулю и четвертое слагаемое, поэтому

Кй?=Ня(1+ 1/«)С(«+ 1). (11.44)

Подставив выражения (11.43) и (11.44) в матрицу усиления (11.35), получим

К(п+ l)=R£(rt + l/n)C(n+ l)[C(tt+ l)R£(rt +

+ l/rt)C(n+1) + P(n+1)Н. (11.45)

Матрица корреляционных моментов ошибки в (11.45)

с учетом того, что Е{п-\-1/п) и G(n-\-\/n) не зависят друг от друга, определяется по формуле

R£(«+ 1/п) = Ф(п + \,п)К(п/п)фТ(п+ 1,п) +

+ В(п+l)Q(ft)B"(tt+1). (11.46)

Таким образом, матрица усиления оптимального фильтра определена. Найдем выражение для вектора ошибки фильтрации:

Е(п+Ш+ l) = G(n+ l) G(tt+ l/tt+ 1). (11.47)



Подставив в (11.47) оценку вектора переменных состояния (11.36), получим

Е(п + 1/п+ 1) = 0(/г+ l)-[G{n + Vn) + K(n +

+ l)F(n+1 г)]

или, учтя уравнение (11.39),

Е(п+ 1/п + l) = E(rt + l/«) -К(«+ l)[C(rt4- -

4- \)E{n+l/n) + Nin+l)] = ll + K(n+l)C{n +

+ l)]E{n + l/n)-K(n+ l)N(n+ 1), (11.48)

где 1 - единичная матрица.

Матрица корреляционных моментов ошибки по определению имеет вид

Яе{п+ 1/п+ l) = M[E(tt+ \fn+ l)ET{n+ Ш+ 1)].

Подставив в это выражение уравнение (11.48) с учетом

М1Е(п + l/n)N(n + \)] = MW{n+ l)E{n+ l/n)] = 0, определим

Ке{п+Ш+1)--=[1-К(п+1)С(п+ 1)]Яе{п + + l/n)ll-K(n+ l)Cn+l)V + K{n+l)P{n +

+ 1)КЧ«+1)- (11.49)

Согласно (11.45), К{п+ 1)[С{п+ 1)Ке(п+ 1/п)С(п+ 1) + Р{п+ 1)] = = R(tt-b 1/«)С(«+1). (11.50)

Выполнив умножение матриц в выражении (11.49) с учетом (11.50), получим окончательное выражение для матрицы корреляционных моментов ошибки:

Яе{п+ 1/п+ 1) = [1 -К(п-Ь 1)С"(п+ l)]R£(n+ Ш).

(11.51)

Сумма элементов главной диагонали матрицы (11.51) определяет дисперсию суммарной ошибки оптимального фильтра, которая при заданных характеристиках сигнала и помехи и найденном уравнении фильтра имеет минимальное значение.

Особенностью оптимального фильтра Калмана является рекуррентная форма его уравнений, поэтому для обработки результатов измерений целесообразно использо-



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) ( 74 ) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110)