Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) ( 75 ) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (75)

вать цифровые вычислительные устройства. Последовательность вычислений на одном цикле следующая (см. рис. П.4):

1) найденная на предыдущем цикле оценка G{n/n) умножается слева на матрицу перехода Ф(и+1, п), в ре- !

зультате чего определяется G (n-f 1 /п);

2) оценка 0{п+1/п) умножается слева на С(/г--1)

и по формуле (11.37) вычисляется невязка F{n-\-l/n);

3) F(n+l/n) умножается на матрицу усиления и ре-

зультат суммируется с оценкой 0(п-\-1/п), после чего л

находится оценка 0{п-\-1/п).

Далее цикл вычислений повторяется. На каждом цикле рассчитываются также матрицы корреляционных моментов Не{п+1/п) и Яе(п+1/п-\-1),

При расчете матрицы усиления (11.45) определяют обратную матрицу размером тХп, что обычно не связано с большими трудностями, так как число выходов фильтра m редко превышает значение, равное 2-3.

При стационарных воздействиях в установившемся режиме матрицы усиления и корреляционных моментов ошибки являются стационарными и могут быть найдены из уравнений (11.45), (11.46) и (11.51).

При реализации оптимальных фильтров на цифровых устройствах из-за ограниченного числа их разрядов вычисления выполняются с погрешностями. Наибольшие погрешности получаются при расчете матрицы, корреляционных моментов ошибки, причем с каждым последующим циклом объем вычислений увеличивается и качество оценок сигнала ухудшается. В теории оптимальных фильтров это явление называют неустойчивостью фильтров Кал-мана.

Пример 11.3. Найти уравнение оптимального фильтра первого порядка, на вход которого воздействует помеха в виде белого шума с интенсивностью Р и случайный стационарный сигнал, генерируемый формирующим фильтром, разностное уравнение которого имеет вид gi= (n-\)=dgx{n) +v{n).

Решение. Из последнего разностного уравнения следует, что A=d, В=1, С=1. Выражения (11.45), (11.46) и (11.51) в рассматриваемом примере являются скалярными:

Л£ (л + 1 In) = rf? Re (nln) +Q; (11.52)

Re(n+Un) = H-K{n + 1)1 Rsin-h Un).



к (4+и

0,9375 0,7746 0,7760 0,7656

0,7500 0,6197 0,6129 0,6125

0,7655

0 6124

Из этих уравнений находим, что

К(п+1)= [d?Re (nin) + Q] [dRe (n/n) +Q + P]-l;

RE(n+l/n+l)=K(n + l)P.

Уравнение оптимального фильтра в соответствии с выражением (11.38) имеет вид

gi (л + 1/л + 1) = dgi (п/п) +K(n+l)[F (п +1) -4i («/«)!•

Оценка сигнала вычисли- Таблица 11.1

ется в такой последовательности. По начальному значению ReIo) определяется коэффициент усиления к(1) и дисперсия Ле(1/1), а затем находится значение оценки сигиа-

ла gi(l/l), после чего цикл вычислений повторяется.

В табл. 11.1 приведены результаты расчета нескольких циклов для случая d=l; Р = =0,8; Q=2; Ле(0)=10.

Значения дисперсии оценки сигнала и коэффициента усиления, указанные в табл. 11.1 для установившегося режима, определены следующим образом. В этом режиме RE{n-\-lfn+l)=RE(nln)=Rs, поэтому уравнении (11.52), решенные относительно ошибки фильтрации, позволяют получить следующее квадратное уравнение R = + QRe-QP=0, решение которого /?£=i,2=-1±1,6124. Так как дисперсия - величина положительная, то ошибка фильтрации Re= = 0,6124, что дает возможность вычислить коэффициент усиления оптимального фильтра. Уравнение для оценки сигнала в установившемся режиме имеет вид

giin+l/n+l)gi (n/n)+0,7655 [£ (n + 1) gi (n/n)] =

= 0,2345 -gi (n/n) +0,7655f (n + 1).

Осуществив Z-преобразование последнего разностного уравнения, найдем дискретную передаточную функцию оптимального фильтра: 0,76552

"(- 2-0,2345 •

§ 11.5. НЕПРЕРЫВНЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА

Определим непрерывный оптимальный фильтр на основе дискретного фильтра, рассмотренного в § 11.4. Первоначально рассмотрим методику перехода к непрерывной модели векторного дифференциального уравнения от разностного уравнения (11.20). С этой целью заменим аргументы в уравнении (11.20) п па t я п-\-1 на t-\-At и разлолим матрицу перехода в ряд Тейлора по степеням



At, ограничившись первыми степенями АЛ В результате получим,что

Ф (/ + At, О = Ф {t,t) + Ф (/,/) At. (11.53)

Так как Ф{(, t)=I, Ф( t)=k{t), то выражение " (J 1.53) принимает вид

0(t + At,i) = l + k(t)At. (11.54)

Аналогично, для матрицы перехода по управлению i (11.19) I

Г( + Д/,Д/)= г Ф(/ + Д/,Д0В(т)(1т = В(0АЛ (11.55) j

Подставив уравнения (11.54) и (11.55) в выражение • (11.20), найдем

G(t + At) = ll + к(/) А] G(О + В (/):V (t) At.

Перенеся G(t) из правой части в левую и перейдя . к пределу при t-oo, получим

G(0 = A(OG(/) + B(OV(0. (11.56)

Аналогичным образом для уравнения выхода

X(0 = C(OG(/). (11.57)

Если применить рассмотренную методику предельного перехода от дискретной модели к непрерывной для векторного разностного уравнения оптимального дискретного фильтра (11.38), то непрерывный оптимальный фильтр будет описывать следующим векторным дифференциальным уравнением с начальными условиями:

G (О = А (О G (О + К (/) [F (О - С" (/) G (i)]. (11.58)

Уравнению (11.58) соответствует структурная схема, ; показанная на рис. 11.5, из которой видно, что оптималь- .1 ный фильтр - это нестационарная система с обратной связью, внутренним контуром которой является формирующий фильтр сигнала."

Матрица усиления в (11.58) находится из разностного уравнения (11.45) и имеет вид

K(/) = R£(OC(OP-(0. (11.59)

где Р(0 -матрица интенсивностей белого шума вектора помехи.



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) ( 75 ) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110)