Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) ( 78 ) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (78)

ется одной из задач анализа нелинейных систем. В системах РА с дискриминационными характеристиками приходится оценивать условия, при которых наступает срыв слежения.

В настоящее время не создано общей теории анализа нелинейных систем автоматики. Разработанные методы позволяют решать лишь отдельные нелинейные задачи. Рассмотрим основные методы анализа нелинейных систем автоматики: 1) метод фазовой плоскости; 2) метод кусочно-линейной аппроксимации; 3) метод гармонической линеаризации; 4) метод статистической линеаризации; 5) метод моделирования.

Метод фазовой плоскости применяется для анализа нелинейных систем, порядок которых не выше второго. На плоскости с координатами e(t) и e{t), где e{t) - ошибка системы или какой-либо другой сигнал, строится траектория движения системы. Плоскость и траекторию движения систем называют фазовыми. По характеру фазовой траектории оценивается качество работы системы.

Метод кусочно-линейной аппроксимации используется в том случае, когда нелинейная часть системы безынерционна и ее характеристика может быть аппроксимирована прямолинейными участками. На каждом таком участке процессы в системе описываются линейными дифференциальными уравнениями, решение которых может быть найдено. В точках излома нелинейной характеристики решения «сшиваются»: значения переменных в конце данного участка принимаются за начальные условия для последующего участка. Таким образом удается построить фазовую траекторию движения системы. При большом числе аппроксимированных участков нелинейной характеристики и дифференциальных уравнениях линейной части выше второго порядка вычисления фазовой траектории становятся громоздкими.

Метод гармонической линеаризации базируется на замене нелинейного элемента линейным звеном, параметры которого определяются при синусоидальном входном сигнале из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть использован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т. е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного звена гармонические составляющие, кроме первой гармоники.



Метод статистической линеаризации является приближенным и применим для систем произвольного порядка. Он основан на замене нелинейного элемента линейным звеном, коэффициенты передачи которого по математическому ожиданию и случайной составляющей сигнала на входе нелинейного элемента определяются из условия статистической эквивалентности нелинейного звена линейному звену.

Метод моделирования основан на использовании для анализа нелинейных систем РА различных вычислительных мащин. Этот метод не накладывает ограничений на порядок исследуемых систем и позволяет оценить качество систем при большом наборе начальных условий и различных видах входных сигналов и помех.

В инженерной практике для анализа нелинейных систем РА применяются методы гармонической и статистической линеаризации. Эти методы являются приближенными. Для анализа систем РА, порядок которых не выше второго, также используется метод, основанный на теории марковских случайных процессов, позволяющий получить точное решение.

§ 12.2. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Рассмотрим метод гармонической линеаризации не линейных характеристик, когда нелинейное звено явля ется статическим. Пусть на вход линейного звена дейст вует сигнал A:=asinij), ij) = tu

Сигнал на выходе этого звена также будет периодиче- ским. Разложив его в ряд Фурье, получим

у= f(a sin = 9 (а) а sin i)-f 9(а) а cos 1)+«/вг. (12.1) где t/вг - слагаемое, учитывающее вторые и более высо- кие гармонические составляющие. j

Коэффициенты ряда Фурье вычисляют по формулам

q (а) = - Г f (а sin ij)) sin il)d5;

9 (a) = JL Г F (a sin Цз) cos i() di). (12.2)

При определении разложения (12.1) полагали, что постоянная составляющая отсутствует. Так как а cos tJ5=



z=xp/a, то разложение (12.1) можно записать в виде

(12.3)

Последнее выражение называют уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты q{a) и 9(а) - коэффициентами гармонической линеаризации.

Таким образом, нелинейное звено при воздействии гармонического сигнала описывается уравнением (12.3), которое с точностью до высших гармоник является линейным. Эта операция и называется гармонической линеаризацией нелинейного звена. При постоянных значениях амплитуды входного сигнала коэффициенты гармонической линеаризации являются постоянными. Различным амплитудам входного сигнала соответствуют различные коэффициенты гармонической линеаризации. Именно в этом заключается принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной, коэффициенты которой не зависят от амплитуды входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного звена.

Уравнение гармонической линеаризации (12.3) -это линейное уравнение, поэтому и вся система РА становится линейной. Для ее исследования могут быть использованы методы, разработанные для линейных систем. Зависимость коэффициентов гармонической линеаризации от амплитуды сигнала на входе нелинейного звена позволяет выявить специфические свойства нелинейных систем, которые не могут быть определены при использовании обычной линеаризации.

Определим коэффициент гармонической линеаризации для некоторых нелинейных характеристик, анализ которых позволяет установить некоторые важные для практики положения. Первоначально рассмотрим характеристику с ограничением, график которой показан на рис. 12.1. В соответствии с формулами (12.2) находим, что

а л-а я+а

J а sin т); dij) + Jcsini])di])+ asin2i])di]) +

q{a)

in-01.

J с sin ij-dij)

a, In

+ a s\r? ij)di}5 =

2л-a sin 2a

-1---COS a

(12.4)



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) ( 78 ) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110)