Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ( 8 ) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (8)

Тогда выражение (2.3) примет вид

Y{p) = W (p)Xip}-hWJp).

(2.5)

Это уравнение связывает изображение выходного сигнала системы с изображением входного сигнала и начальным состоянием системы. Функция W{p) характеризует динамические свойства системы РА, она не зависит от управляющего воздействия и полностью определяется параметрами системы а,- и Ьи эту функцию называют передаточной, а функцию W„ (р) - передаточной функцией относительно начального состояния системы РА.

При нулевых начальных условиях передаточная функция системы РА равна отношению изображения по Лапласу выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала. Передаточная функция является дробно рациональной функцией относительно оператора преобразования Лапласа:

W{p) =

b,y, p"+h,n~i p"-*+...-f6„

(2.6)

л Л,

0,1 р" + ап-1 р-i + ...-f Яо Степень полинома знаменателя передаточной функции определяет порядок системы РА. В реальных системах степень полинома числителя передаточной функции не превышает степени полинома знаменателя. Это условие называют физической реализуемостью системы РА; оно означает, что нельзя создать систему РА, передаточная функция которой не удовлетворяла бы этому условию.

Корни полинома числителя передаточной функции называют нулями, а корни полинома знаменателя Яг - полюсами системы РА. Так как коэффициенты передаточной функции - действительные числа, то невещественные нули и полюсы могут быть только комплексно-сопрял<епными величинами. При анализе систем РА нули и полюсы (особенности передаточной функции) удобно изображать точками на плоскости комплексного переменного р (рис. 2.1). Если передаточная функция системы не содержит особенностей в правой части Плоскости р, то систему называют минимально-фазовой, в противном случае ее считают неминимально-фазовой.

Рис. 2.1. Расположение нулей и полюсов передаточной функции на плоскости комплексного переменного



§ 23. ПЕРЕХОДНАЯ И ИМПУЛЬСЖАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИИ

Рассмотрим случай, когда на систему РА действует единичный сигнал

х(0=1(0. (2.7)

где 1 (t) - единичная функция, удовлетворяющая условию

(Опри<0. 11 при i>0.

Преобразование Лапласа для выходного сигнала системы в соответствии с выражением (2.5) при нулевых начальных условиях имеет вид

Y{p)W(p)/p. (2.8)

Переходный процесс в системе РА, вызванный входным сигналом в виде единичной функции, называют переходной функцией:

h{t)=L-4W{p)/pl (2.9)

где 1/р - преобразование Лапласа для единичной функции.

Переходная функция вычисляется по формуле обращения

с-/эо (=0

где Ki - полюсы подынтегрального кыраженпя; п - число полюсов.

Напомним, что вычет в простом полюсе вычисляется по формуле

ResW(p) =\\m(p-X,)Wip). (2.11) а в полюсе кратности k

Res 1Г(р) ~ ь =-1-lim iLl (n - Ki Yw (p)

(k-\)\ РЦ d/?"-! P

(2.12)

Рассмотрим случай, когда на невозмущенную систему РА действует единичный мгновенный импульс или,



что то же самое, сигнал вида б-функции

х(0 = б(/), (2.13)

который, как известно, удовлетворяет следующим условиям:

f6(/)d/-l; x{t)6{t~T)(it==x{x). (2.14)

- ОО ~оо

Так как преобразование Лапласа для б-функции равно единице, то для выходного сигнала

Yip) = Wip)Ll6ii)]W{p). (2.16)

Переходный процесс, возникающий в системе РА при действии единичного импульса, называют импульсной переходной функцией. Из выражения (2.15) следует, что

W{() = Z.- [W(р)] =ResW(р)е"], (2.16)

Импульсная переходная функция системы РА удовлетворяет следующим условиям:

И)(0 = 0 при /<0, j"tiy(0d/<oo. (2.17)

Первое условие называют условием физической pea-лизуемости системы; оно показывает, что в реальной системе переходный процесс не может возникнуть раньше подачи на вход системы единичного импульса. Второе условие является условием устойчивости системы РА.

Согласно выражениям (2.9) и (2.15),

wit) = h{t). (2.18)

Интервал времени, на котором импульсная переходная функция отлична от нуля, называют памятью системы (рис. 2.2, а).

Ранее определена импульсная переходная функция стационарной системы РА. В таких системах импульсная переходная функция зависит только от разности времени наблюдения выходного сигнала и времени приложения к входу системы сигнала б-функции. В нестационарных системах РА импульсная переходная функция зависит не только от времени наблюдения, но и от времени возникновения входного сигнала (это происходит из-за идмене-ния во времени параметров системы). Если на вход не-



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ( 8 ) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110)