нелинейной системы можно записать так:

D{p) + N{p)

q{a) + q (а)

= 0. (12.7)

В этом выражении не учтены высшие гармоники. Это сделано не случайно и не потому, что они малы. Дело в том, что если в отдельном нелинейном звене при подаче на его вход синусоидального сигнала в выходном сигнале всегда имеются высшие гармоники, то при включении нелинейного звена в замкнутый контур системы из-за фильтрующих свойств линейной части системы высшими гармониками на входе нелинейного звена можно пренебречь.

Если в замкнутой нелинейной системе РА возникают автоколебания с постоянной амплитудой и частотой, то коэффициенты гармонической линеаризации оказываются постоянными, а вся система стационарной. Незатухающие колебания в замкнутых системах, как показано в гл. 5, возникают в том случае, когда характеристическое уравнение системы содержит пару мнимых сопряженных корней. Потому для оценки возможности возникновения в нелинейной системе автоколебаний необходимо в гармонически линеаризованное характеристическое уравнение системы вместо р подставить /со. В результате получают уравнение, коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты предполагаемого автоколебательного режима. Если это уравнение удовлетворяется при действительных значениях амплитуды автоколебаний «к и частоты сок, то в исследуемой системе могут возникнуть автоколебания с амплитудой Ок и частотой сок, устойчивость существования которых необходимо дополнительно оценить.

Таким образом, для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалось при анализе устойчивости линейных систем РА.

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной линейной системы имеет вид (12.7). Подставив в него p-jd), получим

D{ja) + N{ja)[q{a)-\-jq{a)]=0.

Выделив в последнем выражении вещественную и мнимую части, найдем уравнение

Б (со) +/С (со) = 0. (12.8)

Если при таких значениях «к и шк выражение (12.8) удовлетворяется, то в системе возможен автоколебательный режим, параметры которого рассчитываем по следующей системе уравнений:

В (сОн, а„) = 0;

С(ш„,а„) = 0. (12.9)

Из формул (12.9) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, на, пример от коэффициента усиления линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (12.9) коэффициент усиления считать переменной величиной, т. е. эти уравнения записать в таком виде:

В = (шн, «к, k) = 0; C(a)„,a,A)= 0. (12.10)

По графикам a={k), (Ок=/(й) можно выбрать ко-; эффициент усиления, при -сотором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеют допустимые значения, или вообще отсутствуют. ;

§ 12.4. ЧАСТОТНЫЙ .\\ЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ АВТОКОЛЕБАНИЙ

Решение уравнений (12.9) и (12.10) обычно связано с большими вычислительными трудностями, так как коэффициенты гармонической линеаризации имеют сложную зависимость от амплитуды входного сигнала. Кроме того, помимо определения амплитуды и частоты возможных автоколебаний в нелинейной системе, необходимо оценить их устойчивость. В инженерной практике для этого используется частотный метод, который базируется на приближенном выражении для передаточной функции нелинейного звена, определяемой следующим выражением:

WAa) = q{a) + iq4a), (12.11)

где коэффициенты q{a) и (/(а) вычисляются по (12.2).

Если нелинейная характеристика однозначна, то (а)=Ои \F„(a)=(?(a).

Передаточная функция (12.11) определяет амплитуду и фазу первой гармоники колебаний сигнала на выходе нелинейного звена:

ay==\WAa)\a, е„ (а) = arctg -1 ,

я {а)

где \ Wn(a)\ = V(a) + (a); 9„(a) - амплитудная и фазовая характеристики нелинейного звена; а-амплитуда колебаний на входе нелинейного звена.

Таким образом, сигнал на выходе нелинейного звена

у = flj, sin (со -f 0„ (а)).

Так как линейная и нелинейная части системы соединены последовательно, то частотная характеристика разомкнутой системы

р(/со) = Г„(/со)Гн(а). (12.12)

Из выражения (12.12) следует, что частотная характеристика разомкнутой нелинейной системы зависит не только от частоты входного сигнала, как это имеет место в линейных системах, но и от его амплитуды. В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда частотная характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами -1, /0. Данное условие является также условием существования автоколебаний в нелинейной системе, т. е.

Гр(/сй,а)=-1. (12.13)

С учетом (12.12) условие (12.13) принимает вид

Wj, (/со)Г„(а)=-1

WAH =--V-, =-:гЧа). (12.14)

1Г„ (а)

Рещение уравнения (12.14) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически, как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы и годографа обратной характеристики нелинейной части, взятой с обратным знаком. Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Устойчивость автоколебательного режима оценивается следующим образом. Режим автоколебаний устойчив, если точка на годографе нелинейной части IF-(a), соответствующая увеличенной амплитуде по сравнению со значением в точке пересечения годографов (12.14), не охватывается годографом частотной характеристики линейной части системы. В противном случае автоколебательный режим неустойчив. На рис. 12.8, а годографы пе-