Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) ( 84 ) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (84)

цесса, являющегося решением стохастических дифференциальных уравнений (12.31), удовлетворяет уравнению фоккера-Планка [12]:

- [AUx„X2...,x,,t)w]+

п п

Al{x, х,..., х„, t) = aiiXi, Х2,...,х„, О + 4"

x 2 б,.,(„ .....0; (12.33)

Btj{Xi,X2,...,Xnt)=- Nob(Axi,X2,...,Xn,t)bj,, x

x (д:1,а:2,....>п, О- (12.34)

Часто встречаются случаи, когда составляющие марковского процесса удовлетворяют системе стохастических дифференциальных уравнений вида

=ai{Xi,X2,...,x„,t) + h{t), (12.35) at

где ((0 -белые шумы, не зависящие от составляющих xit).

В этом случае коэффициенты уравнения (12.32) получаются следующими:

Ai (Xi, X2,...,x„t)=: Oi (x„ X,.....x„ t);

Bij = 0,25yV,,

где yv,/- взаимные спектральные плотности шумов x{t).

Уравнение Фоккера-Планка позволяет найти плотность вероятности ошибки системы РА, вероятность срыва слежения цели, среднее время до срыва. Однако следует заметить, что интегрирование уравнения (12.32) является сложной математической задачей, в общем случае не решенной. Для некоторых частных случаев, имеющих практическое значение, решение этого уравнения может быть найдено.



Для анализа выходного сигнала системы РА y{t) или ее ошибки e{t) методами теории марковских процессов необходимо, во-первых, чтобы все случайные возмущения, действующие на систему, были белыми шумами и, во-вторых, чтобы система описывалась стохастическими дифференциальными уравнениями вида (12.31) или (12.35). Первое условие обычно выполняется, так как системы РА - это устройства с ограниченной полосой пропускания, в пределах которой спектр возмущений можно принять постоянным. Если спектр возмущений в пределах полосы пропускания изменяется, то можно ввести формирующий фильтр с белым шумом на входе, что, однако, приводит к повышению порядка стохастического дифференциального уравнения и, следовательно, к усложнению оценки характеристик нелинейной системы.

Для выполнения второго условия передаточная функция линейной части системы W{p) (см. рис. 1.20) должна быть дробно-рациональной функцией оператора р. В этом случае математическое описание нелинейной системы в виде системы стохастических дифференциальных уравнений осуществляется так же, как и в линейных системах. Для приведения исходного дифференциального уравнения нелинейной системы к виду (12.31) или (12.35) следует использовать формулы (8.3) и (8.7).

Пример 12.3. Составить стохастические дифференциальные уравнения для ошибки системы (см. рис. 1.20), когда W(p)=k{l+pT2}/ /p(l-fpTi), а шум не зависит от ошибки e(t).

Решение. Согласно структурной схеме системы, дифференциальное уравнение системы относительно ошибки имеет вид

Ht)+~Hn=Ht) + ~x{t)--~~lF(e)+l(t)]- If (е)-f 1(01-

Введем обозначение e{t)=e\{t). Составим систему дифференциальных уравнений:

el (О = «2 (0 + fti[f (е) + 1(01;

ёз (О =--- еа (О +x(t)+~rx(t)+hF(e) + l (t) ].

Коэффициенты hi и fta вычислим по формулам (8.7):

h,-kT.JT. h.=-kiT-TyT\.

Введенные переменные ei(0 и 2(0 являются составляющими марковского процесса, .



После описания системы стохастическими дифференциальными уравнениями можно перейти к решению уравнения Фоккера-Планка, определяющему плотность ве-ррятности ошибки системы ш(е) с учетом нелинейной характеристики дискриминатора. Как отмечалось, решение уравнения Фоккера-Планка может быть найдено в том случае, когда линейная часть системы имеет порядок не выше второго. Решим это уравнение для системы, в которой W(р) -k/p. Такая система описывается стохастическими дифференциальными уравнением

ё (О ==- kF (е) + x{()-k УЩТ) i, (0. (12.36)

где S(0, е)-спектральная плотность белого шума; li (t) - спектральная плотность белого шума с интенсивностью, равной единице.

Уравнение Фоккера-Планка в соответствии с (12.32) имеет вид

[A{e)w{e)] + -lB{e)w{e)l (12.37)

dl де

Коэффициенты уравнения (12.37) в рассматриваемой задаче следующие:

A{e)=-kFie) + x + \k,

5(e) = Lfe2S(0,e). (12.38)

При решении уравнение Фоккера-Планка обычно записывается так:

+Я. = 0, „2.39)

где Пд=- А {е) w (е)-- [В (е) w (е)] - поток плотности

вероятности.

Найдем плотность вероятности ошибки в установившемся режиме Wo{e). В этом режиме dw{e)/dt=0. Тогда уравнение (12.39) принимает вид

А (е) Wo (е)--[В (е) (е)] = П„ (12.40)

где Яс - поток плотности вероятности в установившемся режиме, значение которого постоянно.

Плотность вероятности wo(e)-функция неотрицательная, при е-»-0 она быстро убывает, так что дао(оо) =0;

7* 259



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) ( 84 ) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110)