Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) ( 87 ) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (87)

описывается векторным дифференциальным уравнением вида

G(/)-AG(0 + BU (/);

Y(0 = CG(0, (13.3)

где G(t) - выходной вектор объекта управления. Критерий оптимальности имеет вид

= J [G (О VG (О + (О QU (t)] di, (13.4) о

где G()=-Е(/), так как входной вектор равен нулю.

В критерии (13.4) по сравнению с (13.1) отсутствует первое слагаемое, так как при 7=00 оценка конечного состояния не имеет смысла. Кроме того, верхний предел интегрирования в (13.4) равен бесконечности. При этом можно гарантировать, что после окончания переходного процесса достигнутое нулевое состояние будет сохранено. Для решения оптимальной задачи стабилизации используем принцип максимума Понтрягина, согласно которому оптимальный вектор управления соответствует, максимуму скалярной функции Гамильтона, определяе-* мой выражением

/У -i-{G(/)VG(0 + U(0QU(01 +О(0Р(0- (13.5) Подставив уравнение (13.3) в (13.5), найдем что Н=-~ [G (t) VG (О + (/) QU (01 + [AG (0 +

+ BU(OFP(0. (13.6)

в последних двух выражениях через P(t) обозначен вспомогательный вектор, являющийся решением векторного дифференциального уравнения

p/t)== - -EL, (13.7)

Производную вектора состояния определим из (13.5) G(/) = -. (13.8)

Систему дифференциальных уравнений (13.7) и (13.8) называют канонической.

Исследование функции (13.6) на максимум относительно вектора управления позволяет определить опти-



мальное управление

U(0 = Q-Brp(0. (13.9)

Из (13.9) следует, что для вычисления оптимального управления нужно найти вектор P(t). Для этого необходимо решить каноническую систему уравнений (13.7) и (13.8), начальными условиями для которой являются начальное состояние объекта управления 6(0) и конечное значение Р(оо)=0. Вычислив P(t), найдем оптимальное угфавление как функцию времени, которое предварительно должно быть рассчитано и запомнено, после чего оно может быть подано на объект управления. Очевидно, что при таком способе управления получается разо.мкнутая система со всеми присущими ей недостатками. Поэтому следует получить оптимальное управление через вектор переменных состояния V{t) = = f[G(0]- Для этого необходимо вектор P(i) выразить через 0(t):

Р it) =-KG (t). (13.10)

Матрица усиления К удовлетворяет следующему матричному уравнению:

V + KA +AK-KSK = 0, (13.11)

где S = BQ

Подставив (13.10) в формулу (13.9), определим

U(0 =-Q-BKG(0. (13.12)

На рис. 13.1 показана структурная схема оптимальной си-стемы стабилизации. Система А

линейна, так как на вектор -

управления не наложено никаких ограничений.

Определение матрицы К по (13.11) сводится к решению системы нелинейных алгебраи- ,3 структурная схе-

ческихуравнении. Так как К- ма оптимальной системы симметричная матрица, то чис- стабилизации ло уравнений равно 0,5n(rt-f-+ 1), где п - порядок вектора

состояния. Из найденных решений следует отобрать только то, при котором матрица К является положительно определенной.

Для вычисления элементов матрицы К могут быть использованы ЭВМ, на которых следует решить матркч-

Gft)



ное уравнение Риккати:

К (О = V + К (/) А + К (О - К (О SK (О (13.13)

с граничными условиями К(Т)=0, где время Т выбрано достаточном большим. Если момент времени Т принять начальным, а К(Т) - начальным условием, то матрица К определяется как асимптотическое решение уравнения Риккати при уменьшении времени. Для того чтобы получить решение уравнения Риккати, соответствующее увеличению времени, вводят переменную x=T-t. Тогда уравнение (13.13) принимает вид

К (т) = V -f К (т) А + А К (т) - К (т) SK (т).

Это уравнение решается на ЭВМ. с начальным условием К(0)=0. При достаточно большом Т установившееся значение К(х) позволяет найти элементы матрицы К.

Рассмотрим синтез оптимальной системы слежения, качество работы которой оценивается функционалом

J = г [E(0VE(0 + U(0QU(01d/, (13.14)

где E(t) = X(t)-\(t) - вектор ошибки; X(t) - входной вектор.

Объект управления описывается уравнением (13.3), оптимальное управление в задаче слежения определяется выражением (13.9), в котором вспомогательный вектор Р(0 зависит не только от вектора состояния объекта управления, но и от входного вектора:

P(0=-KG(0 + Z(0, (13.15)

где Z(t) - неизвестный вектор, являющийся решением уравнения

Z(0 = [KS-AnZ(0 + VX(/). (13.16)

Так как X(t) известен, то уравнение (13.16) может быть решено при граничных условиях Z(oo) =Х(оо) =0. Для входных сигналов, не удовлетворяющих этим граничным условиям, решение оптимальной задачи слежения не найдено.

Для определения вектора Z(t) в системе должно быть предусмотрено специальное вычислительное устройство, этот вектор можно рассчитать заранее и поместить в память вычислителя.



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) ( 87 ) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110)