(2.27)

При замене в се составляющими индекс / исключался и вводился индекс (первый), соответстиующий номеру составляюи1ен и р„азложении (2.24).

В получг-ннон таким образом сумме все первые члс-ные разложении температуры в ряд сократились и остались только иулевьге члены. Аналогично можно произ-вестн почленное сложение остальных значений температуры, входящих в уравнения (2.25). При этом каждый раз первые члены разложения будут сокращаться и останутся только пять нулевых членов разложения. Множиь.ль Г) можно исключить, разделив все члены в суммарном уравнении иа этот множитель.

Теперь посмотрим, как будут складываться плотно-сти потоков:

1,- Г,1!, -1- +i,--f lY-h V,

(2.28)

в co<niiv rciuHH с равенствами (2.26) нес плотности внутрепн]). потоков сократились и остались только плотности ЕНСЕпннх ПОТОКОВ, падающих на поверхности пластины. Обозначим нх через I*- и 1".

В результате суммирования получается первое уравнение для вычисления нулевой составляющей температуры:

(2.29)

Если бы мы взяли по толщине пластины не пять, а другое число узлов, то коэффициенты перед плотностями потоков были бы другими. Таким образом, полученные уравнения записят от количества узлов, взятых по толщине пластины. Чтобы исключить эту зависимость, можно перейти от приведенных плотностей пото-7в

JB I к действительной величине плотности J в соот-йтствии с равенствами. (2.6), например;

5 СН,

Теперь можно переписать уравнении (2.29) ь виде, не [висящем от числа узлов, взятых по толищне п.частнны:

+ Л (У , - 2в- ,, + в ., .) = Н\\- 9- . (2.30)

Если бы МЫ взяли ПО толщине пластины бесконечиое :сло узлов, то результат получился такой же н урав-ние (2,30) осталось бы без изменения. Для получения второго нужного нам ураинеги1и ежде всего необ.чодимо умножить каждое из урав-;иий (2.25) на у. Поскольку у теперь прпнимае! впол-2 определенные значения для каждого уравнения, то ;рвое из них нужно умножить на у=-2/ly, второе 1 y~-ky и т, д. При этом третье уравнение обращается в тождество (0=0), так как и левая и правая ID части умножаются на у=. 1 Далее нужно четыре оставшихся уравнения сложить очленно, предварительно представив значения тс.мпе-атры в виде (2.24). Сумма первых членов в первых шбках будет равна

(2.31)

Теперь сокращаются все пулевые члены и остаются олько первые составляющие температуры. Таким обра-м, в первое уравнение не будут входить члены Эь во второе - члены во, и эти уравнения можно будет ешать раздельно, т. е. наша задача распадается иа две амостоятельные задачи для опредслепия 6э и Вь

Аналогично производится суммирова[И1е и остальных 1Начеиий температуры. Каждый раз при сложении бу-,ет появляться множитель lOhylk. В дальнейшем нужно дет разделить иа этот множитель все члены получение суммарного уравнения.

Несколько труднее сложить плотности потоков

- 2h„\ ,- 2h,r,- УГ+зйЛ"" -

- 2A,(i:2 + i;) ~ (C + Ii+lr + i")- (2.32)

В первых скобках полученного уравнения (2,32) остались плотности внешних потоков, а во вторых - внутренних. Последние нужно выразить через разности температур в соответствии с равенствами (2,i0):

- i,,.k)=- v. (- 9,-.,* -f .e,..i). (2.33)

Коэффициент Лу зависит от шага сетки Лу. Этот шаг отличается от шагов в направлении х и z, поэтому и коэффициент Лу будет отличным от коэффициента Л.

Таким образом, сумма плотностей внутренних потоков оказалась выраженной через разность температур в крайних узлах цепочки узлов в направлении у. Представив температуры в (2.33) в виде разложения (2.24), получим

и вновь нулевые составляющие температуры сократились и остались только первые составляющие.

Теперь можно записать второе разностное уравнение для определения первой составляющей температуры. После деления на указанный выше коэффициент iO h\lh имеем

- 29,.,,. + 9,,, ..J (I--

(2.35)

в полученном уравнении коэффициенты перед приведенными плотностями внешних Тепловых потоков 1 и I* и перед составляющей температуры Qj зависят от числа узлов, взятых иамн но толщине пластины. По-80

смотрим, каким образом изменяются эти коэффициенФЫ при увеличении чиела узлов. Начнем с первого коэффициента перед приведенными плотностями потоков, Переходя к действительным плотностям на основании (2.8) получим

Цифра 2 в числителе определяется номером крайнего узла в цепочке узлов. Цифра W получается прн суммировании в формуле (2.31) : 10=2(22 + 1). Шаг в направлении у в этом случае в два с половиной раза меньше величины К Таким образом,

2" 1,6 hC

71,= 1.25

hC -2

Если бы мы взяли по толщине пластины не пять узлов, а, скажем, семь, то соответствующее выражение имело бы вид

2 (3*+ 2 + 1) Cft=(,

28С о.забл

Ch

При дальнейшем увеличении на два числа узлов, взятых по толщине пластины, числовой коэффициент последовательно принимает значения 1,35; 1,37; 1,39; 1,40 и т. д. В пределе при числе узлов, равном бесконечности, этот коэффициент будет равен 3/2.

Второй коэффициент перед составляющей температуры на основании формулы (2.11) можно записать в виде

10 " h\C 10 ~ftC • 0.4-10 ЛС-

Числовой множитель получается в два раза большим, чем для предыдущего коэффициента.

Теперь можно записать уравнение (2.35) для случая бесконечного числа узлов, взятых по толщине пластины, т. е. при /гу->-0:

- " .1.4 ..f.A-

6-421

(2.36)

Мы получили два разностных уравнения (2.30) и (2.36) ДЛЯ вычисления составляюпхих температуры во и 01 на поверхности пластины. Эти уравнения позволяют рассчитать нестационарный процесс распределения температуры по поверхности, если заданы плотности тепловых потоков /+ и проходящих через обе поверхности.

2-12. Расчет теплового экрана

Чтобы познакомиться с порядком вычислений, решим задачу о распределен1Ш температуры в тепловом экране, который защищает блок а (рис. 2.21) от тепловых потоков, распространяющихся от блока Ь. Поскольку решать мы будем не на ЦВМ, а «на руках», то по возможности упростим нашу задачу.

Во-первых, предположим, что температура по всей правой и левой поверхности пластины одинакова. При этом в уравнениях (2.35) и (2.36) выпадают все члены в круглых скобках, перед которыми стоит коэффициент А. Сама сетка также исчезает, остается только один узел. Температура 0ь блока Ь пусть изменяется во времени по линейному закону.

Материал экрана алюминий: С=2,4 МДж/ (мК), Д=200 Дж/(МК-с). Толщина экрана 3 мм.

Таким образом, шаг по времени получился достаточно малым. В результате расчета нам нужно в конечном итоге получить повышение температуры защищаемого блока а. Для этого недостаточно только тех

Рис. 2.21. 82

уравнений, которые мы получили. Нужно еще сформулировать и описать, математически задачу теплообмена в самом блоке а и окружающем его пространстве. .

Задачу распространения теплоты в твердом теле мы рассмотрели, а относительно задачи конвекционного теплообмена мы указали, что ее следует решать на основе эмпирических коэффициентов, для получения которых необходимо произвести соответствующие эксперименты. В нашем распоряжении таких экспериментальных данных нет, поэтому задачу нагрева блока а и окружающего его пространства сформулируем условно. Будем считать, что блок а и некоторый объем воздуха вокруг него окружены теплоизоляцией и теплота может поступать в этот объем только со стороны экрана. Теплоемкость этого объема Са возьмем равной 50 Дж/К, а площадь экрана 5, относящуюся к этому объему, равной 0,005 м2. Теперь можно написать уравнение теплового баланса объема с блоком а. Считая температуру по всему этому объему постоянной и равной 0а, получаем

ySx = C (в+*-90. (2.37)

где /аплотность теплового потока через левую поверхность экрана.

Теперь мы располагаем тремя уравнениями [(2.30), (2.36) и (2.37)] для определения пяти неизвестных 0а, 0о> ©ь h и /(). Нам необходимы еще два уравнения, чтобы система получилась замкнутой. В качестве таких уравнений возьмем выражения плотности тепловых потоков через разности температур на поверхности пластины и в прилегающем объеме а или Ь\ Ja= =-:а(0о-01~0а), /б=-а(©ь-00-где а - коэффициент теплоотдачи поверхности экрана. Предполагается, что температура на правой поверхности (0o + 0i) ниже температуры блока 6, а температура на левой поверхности (00-©i) выше, чем 0„.

Подставив значения потоков /д и Д в уравнения (2.39), (2.36) и (2.37), найдем

«(9„9„9:)-::9!-9!;

5 + 1

(2.38)