ческос применение метода к решению конкретных задач наталкивается на две трудносги; 1} большой объем вычислений, 2) сложность анализ.а погрешностей решения.

Часто получается так, что нужную задачу мы решить не можем, поскольку модель получается очень сложной (содержит много узлов) н никакие ЦВМ не в состоянии выполнить такого объема вычислеинн. Тогда мы упрощаем модель, т. е. берем меньшее количество элементов, а сами элементы больших размеров. Это позволяет решить задачу, Но ирн этом мы не знаем, какая получилась погрешность и насколько полученное решение похоже иа действительный иропесс в конструк-пин. Данные получаются ненадежными. На уменьшение указанных недостатков разностных методов и направлены в основном усилия МН0Г1ЕХ исследователей, Появляются все более экономичные и точные разностные модели.

Однако метод конечных разностей и подобные ему дискретные методы (метод конечных элементов, Bapna"-ционно-разностный метод) имеют еще тот недостаток, что в процессе решения производится дискретизация конструкции, т. е. конструкция разбивается на ряд дискретных элементов. Решение получается в виде больших таблиц чисел, соответствующих этим дискретныг элементам. Эти таблицы содержат много излишней нн-формаиии. Возникают трудности анализа полученных в таком виде результатов. Наконец, дискретность приводит к указанным выше погрешностям д][скретизации, которые доставляют много неирнятностей.

Этих недостатков лишены классические вариационные методы (метод Ритца, метод Бубнова - Галеркн-1ш). Решен][с в этих методах ищется в виде формулы или ряда формул. Количество чисел в ответе невелико. Нет никакой дискретизацин но координатам. Исчезают погрешности дискретизации и трудности анализа результатов.

Однако в вариационных методах очень сложно подобрать формулы, удовлетворяющие заданным граничным условиям задачи, особенно если область имее; сложную форму и граничные условия неоднородны. Эта трудность считалась принципиальной и сдерживал;! поиск в этом направлении до тех пор, пока не появились работы В. Л. Рвачева. Разработанный им метот. 186

позволяет чисто формально построить формулы, удовлетворяющие любым граничным условиям по крайней мере в стационарных задачах. Эти формулы содержат ряд неопределенных компонентов, варьируя которые, можно приближенно удовлетворить и дифференциальным уравнениям внутри области.

Само применение метода В. Л. Рвачева ограничено пока относительно простыми задачами. Связано это со сложностью получаемых формул. Однако этот метод ннтеисивно совершенствуется и круг решаемых с его помощью задач быстро расширяется. Кроме того, с ио-явле]1ием метода Рвачева прояснились еще два возможных пути построения моделей. Если в методе Рвачева точно выполняются условия на Гранине и приближенно- внутри области, то, очевидно, во.зможны ен1.е два варианта: 1) точно-внутри области и приближенно - на границе; 2) приближенно - внутри области и на границе.

Первый путь является весьма привлекательным, но недостаточно универсальным, второй же может оказаться не только простым и универсальным, цо и чрезвычайно экономичным с точки зрения объема вычислений на ЦВМ,

Покажем на простом примере плоской стационарной задачи теплопроводности ирнменеине этого приема при использовании распространенного вариациоииого метода-метода наименьших квадратов. Пусть на плоскости XOY имеется однородная область Q с границей Г. Внутри области находятся распределенные источники тепла q{x, у). Необходимо найти формулу, при-б,И1жепно удовлетворяющую уравнению Фурье и произ-во,:ькым граничным условиям. Оба эти требования хюжно записать в виде одного выражения:

где Z. - дифференциальный оператор.

Внутри области он является оператором Лапласа, а на границе изменяется в зависимости от заланиыч граничных условий, например, в точках где задиЕИ! температура ЬЬ=В. Правая часть также может иметь различное значение. Во внутрогннх toiik.ts удслмии-тепловыделение qfk. В грпнитых тпчиих ли может быть или значение тсмперптурь! или ииинчшс ♦КимП» производной но М1)рма.11 к граишИ.

приближенное решение можно искать в виде двухмерного стенершого ряда

в процессе решения необходимо найти коэффициенты Aij этого ряда. Для этого, варьируя значения коэффициентов А, добиваются, чтобы отклонение Юп от задаииого Фдг было минимальным, т. е. минимизируют

функционал W= (Фл-LBrddQ, где интеграл берет-

ся по области и границе.

Если область имеет сложную форму или сложен внд функции q{x, у), то интегрирование можно заменить суммированием. Для этого внутри области и на гра-шще намечают .V точек. Точки располагаются таким образом, чтобы по их расположению можно было достаточно точно воспроизвести форму области и рельеф функции q{x у). Тогда функционал принимает вид

Минимизировать этот функционал можно двумя способами, При первом способе отыскиваются сразу все коэффпце1;ты Aiy Для этого н.з (3) получают систему уравненич Эйлера и решают ее относительно неизвестных коэффициентов А. Таких уравнений будет -1-1,

Можно избежать решения системы, если вычислить коэффициенты последовательно по-одному. Для этого мгшимизируется последовательно ряд частных фуик-

нионалов S (Фл"-ej). Уравнения Эйлера в этом слу-чае имеют вид

Процесс вычислений продолжается до тех пор, пока значения Ф\у во всех точках не будут .меньше заданной величины. Иными словами, происходит «обнуление» значений Фл" во всех jV точках области. Таким образом, если бы точки сплошь покрывали всю область и границу, и Фл- во всех точках стало бь[ рангпагм нулю, то задача была бы решена точно. Это могло бы потребовать бесконечного числа членов в разложении (2), Выбор конечного числа точек даже в том случае, если во всех точках Ф\т получились равными нулю, приведет к по-Я15ленню по]решностей. Это погрешности анпроксима-цин точного решения задачи приближенным реше-кнсм (2). При этом число членов разложения в (2) получается в худшем случае того же порядка, что и число точек .V. Процесс программирования задачи получается весьма простым, а процесс вычислений достаточно экономичным. Объем вычислений пропорционален Л. Облегчается также и анализ погрешностей.

Мы рассмотрели в общих чертах только один простой способ получения аналитических решений. Существует сше М1Южество более сложных способов, Все эти способы ие реп1ают проблемы в целом, В каждом конкретном случае инжеиерной задачи приходится выбирать по;1.ходяи1;ий аналит[тческий способ и, если такого не окажется, то переходить к одному из дискретных способов.

Таким образом, развитие дискретных и аналитических метг)дав решения конструкторских задач идет па-ра.ч.чельис».

После вычисления очередной функции Ви=:Аг;.ху производится коррекция части в (1). Ф\-ф*-LOf-;, где Ф" - предыдущее значение правой части во всех то---ках области. 188

Список литературы

1. Бабушка И., Витасек Э., Flpareit М. Численные процессы ро-шсЕшя л-1фференциалы[ых уравнений. Пр, с чешек. М.. «.-Чир», 1969

2. Годунов С. К., Рябенький В. С. Ранюстныс схемы. М, dta\ ка», 1973.

3. Годфри Д. Е. Р. Теория vnpvrocriE и пласт1"1Н0СТ[г «Б\д-. вельник», Киев, Шь9.

4. Дьяченко В. Ф, Основные понлт1гя вычислительной матсу; тики «Паука». 1972.

5. Жуковский В. С. Оспозы теории теплопередачи Л., Эж,: гая:г, 1969,

6. Карпушин В. Б. Вибрации и удары в ра.июаппаратуре. Л1, г.Соя. радио». 1971.

7. Самарский Л. А. Вясденне з тсоркго раз[[остных схем «Наука», 1971.

8. Самарский .Л. А., Гулин А. В. Усто:1чивость разностных ex.: м М., .Наука», 1973,

9. Слепян Л. И. Нестационарные ynpvrEEC волны. Л., «С-д,, cipocH]ie». 1972,

10. Справочник по leopEEii yiEOvE-ocTii. «Буди[зель[[:п(>>, Киев, 197! И, Угодчиков А, Г., ДлугачМ. И., Степанов А. Е. PeiueHi;i

Краевых .Чйдач плоской теории vripyioc-i-ц на цифровых и анало! пых машинах. М, «Выс1ал Ш1-:ола», 1970,

Оглавление

От автора...............

1, ПОСТ.\НОВл.\ 3.4ДАЧИ ..........

1.1. в элементарном объеме , ........

1.2. Гипотеза о свойства.х среды.......

1.3. От части к целому , -........

1.4. Пример с водой...........,„

1.5. Бл1!же к природе..........-

1.6. Вперед -к бесконечно га.пым!

1.7. Аппроксимация......... •

1.8. Что может высшая математика?......

1.9. Паъздк конечным разностям

1.10. Как решать?............it,

1.U, П0ДВОГ.НЫС камни..........

1.12. Устойчивость.......... . -

1.13. Разные разности...........

1.14. Разностная схема..........у

1.15. Погрешности округления.........

2, ТЕПЛОВАЯ .•ЮДЕЛЬ КОНСТРУКЦИИ 47

2.1. Теплопроводность, конвекцЕШ, лучеисиусианис . , . 48

2.2. Моде-ть-сстка ...........

2.5. Зако:: сохрансЕЕня тепловой энергиг!.....

2.4. Формулировка задачи.........

2.5. Включаем питание..........

2.6. Первые выводы...........

2.7. CoBt-piiitiiCTBOEaHHC коде.;л........"

2.8. Пeo.чE!opo.zныe элементы моде.!!!......

2.9. Бо,и-о сложные граНЕта........I; *

2,го. Где тонко............... J

2.11. От трехЕсрпон сетки дзухмерной.....

2.12. Расчсг тепловлго экрана .......

2.13. Узл за углом.........•

3, ЛЛЕ-:ХАН[ЗЧЕСКАЯ МОДЕМЕН Д110К0НСТРУКЦКП .... 87

3.1. Задача расчета p::r.pa!iiiii........

3.2. Закон парностг: и 1..:сжио1 Ha::in>Kei[nnL состояние .

3.3. Трудносги прн DjcipoeHini Г::ДСЛ:1...... 54

3.4. Равноасс;:е сил...........

3.5. Уравнения ДБНЖМЕИЯ е псрст.хшещях..... УУ

3.6. Явная схема............

3.7. Через границу...........

3.8. .МОНОЛЕЕТНЫЙ Йлок РЭЛ......... "5

3.9. Элеменгг.! связей ........... i]

З.Ю, Ocpe.iiHCHEie механичсски.х характеристик . , . . 1-1

3-11. Потер:: энергии на ниутреннее трение..... 128

3.12. По.лггловка исходных данных....... 1S4