ЩШ\ !!! i I M I ; M I

Рис. 2.8.

задачу плоской. Для этого потоки в направлении оси х будем считать равными нулю, а температуру - неизменной. Это равносильно тому, что в уравнении (2.12) принять 0+l,J,,=eг-l,j,fe=в,j,fe.

Возьмем данные (рис. 2.8) при t=x в качестве исходных для вычисления значения температур в момент времени =2т. В узлах а она будет равна Q"*" =(20,08-1-+ 20,08 + 20 + 20 + 20 + 20)/6 + 0,08=20,107"С. В узлах со-

t=2r

t = 5z

Рис. 2.9. €0

Рис. 2.10.

:едних с а температура также повысится: 0+i=(2O,8-b + 20+20+20+20+20)/6=20,013Х. В остальных узлах температура пока остается неизменной.

Занесем новые значения в новую таблицу для момента времени t=2x (рис. 2.9). Возьмем эти значения в качестве исходных и вновь вычислим по формуле (2.12) температуры для момента =3т (рис. 2.10).

Так можно продолжать расчет на сколько угодно шагов по времени и получить температуру в любой точке блока в любой момент времени. При этом надо помнить, что температура в узлах за пределами блока должна оставаться постоянной.

2.6. Первые выводы

На основании приведенного примера можно сделать следуюпхие выводы:

1. Рассмотренный метод решения задачи теплопроводности является достаточно универсальным. Этим методом можно решать задачи для области любой формы, если взять достаточно мелкую сетку и представить область из маленьких кубиков. Источники тепла могут быть расположены произвольно в любых элементах области. В задаче можно задавать любые начальные и Граничные условия. Например, если придется решать задачу, где по границам непосредственно заданы значения удельных потоков тепла, то в уравнении движения (2.9) для граничных элементов нужно просто заменить соответствующие приведенные потоки внешними и преобразовать уравнение к виду (2.12).

2. Вычисление температуры для всех узлов области является однотипным и производится по одной и той же

формуле. Это позволяет при постановке задачи на ЦВМ, I записав программу для одного узла, затем повторять, ее для других, вводя небольшие изменения в узлах с источниками и граничных узлах.

3. В процессе решения получается полная картина распределения температуры внутри области в каждом шаге по времени. Это позволяет производить попутно с основным расчетом различные контрольные операции, например определять допустимую температуру. Задача состоит в определении максимальной температуры в тех точках блока, где находятся детали, недостаточно

стойчивые к действию повышенной температуры. Когда

основной расчет сопровождается контрольными операциями, отпадает необходимость в хранении и выдаче на печать всей получаемой в процессе расчета информации, которая, как мы видели, может быть весьма обширной. Достаточно выводить .на печать только критические ситуации, когда температура в заданных узлах приближается к предельной.

4. Наконец, достоинство этого метода состоит в том, что он позволяет постоянно совершенствовать и усложнять модель для получения более точной картины тепловых явлений.

2,7- Совершенствование модели

Блоки радиоэлектронной аппаратуры, как правило, не бывают однородными и состоят из различных материалов с различными характеристиками. Некоторые части радиоконструкций представляют собой тонкие пластины. Для пластины строить сетку по принципу, рассмотренному выше, нерационально. Шаги сетки в направлении нормали к поверхности пластины получаются малыми, и из условия устойчивости приходится выбирать малыми и шаги по времени. Число шагов по времени пропорционально возрастает, и увеличивается объем вычислений. Для расчетов тепловых процессов в плоских деталях конструкции можно строить не трехмерные, а двухмерные модели. Сложность решения задач с помощью двухмерных моделей уменьшается, а точность расчета возрастает. По тому же принципу можно строить модели для коробчатых конструкций, таких как

кожухи и шасси.

Выше рассмотрена задача теплового расчета блока из однородного материала. Чаще всего залитые блоки даже в первом приближении нельзя считать однородными. Они включают в себя множество деталей из различных материалов. При решении задач для неоднородных областей точными аналитическими методами необходимо для границ раздела между различными материалами записывать дополнительные промежуточные граничные условия. Записать такие условия не сложно. Они состоят в том, что температура и тепловые потоки в различных областях на границе раздела должны быть одинаковыми. 62

Такой же подход можно использовать и при разностном решении тепловых задач. Однако если областей с разными материалами много и форма этих областей сложна, то использование промежуточных граничных условий в разностном расчете становится затруднительным. Поэтому рассмотрим другой, более простой метод построения разностной схемы при расчетах неоднородных блоков РЭА.

2,8. Неоднородные элементы модели

При построении разностных схем неоднородные бло-ки РЭА заменяем блоками, состоящими из элементов, обладающих примерно одинаковыми свойствами. Иными словами, осредняем теплоемкости и теплопроводно-"Сти по объему неоднородного элемента. При этом следует различать элементы массы, по которым осред-няется теплоемкость, и элементы связей, по которым .осредняется теплопроводность.

к Элементы массы введены выше. В центре каждого Этакого элемента находится узел сетки. Элементы свя-зей составляются из половинок элементов массы Г (рис. 2.11). Узлы сетки находятся на гранях этих эле-, ментов. Таким образом, элементы связей могут пере-Скрываться между собой и с элементами массы. Значе-,ние теплоемкости входит в выражения всех коэффи-,циентов А (2.11). Но эти коэффициенты характеризуют I не рассматриваемый элемент модели (элемент массы).

2

Рис. 2.12.

й расстояния между узлами, т. е. элементы связей около этого узла. Поэтому лучше не вводить осредненное значение теплоемкости в коэффициенты Л, а учесть его в виде безразмерного множителя перед левой частью уравнения (2.9):

(2.13)

Обычно в неодородных блоках РЭА какой-либо один материал (наполнитель) является основным. Коэффициент М определяется как отношение теплоемкости наполнителя к осредненной теплоемкости элемента массы:

M=ClCcp. (2.14)

Вычисление осредненного значения теплоемкости мы покажем ниже на конкретном примере.

Рассмотрим вначале осреднение теплопроводности по элементам связей, когда через элементы проходит граница раздела между различными материалами. Сразу же заметим, что задача несколько облегчается, если узлы сетки располагать на границе раздела, и плоская граница будет разделять элемент на две равные части (рис. 2.12).

Если граница раздела параллельна координатной

плоскости Х2, то потоки /" и J~ проходят в однородных

у у

элементах связей и для них плотности потока выражаются через соответствуюпцие коэффициенты теплопроводности

У * hy у ..у

Четыре остальных потока проходят через неоднородные элементы связей между узлами, причем потоки направлены параллельно границе раздела. В этом случае производится осреднение коэффициента теплопроводности. Для осреднения достаточно сложить потоки, проходящие через обе половинки неоднородного элемента связи, например, поток по z слева

г. в; ; Ьд., - 0; ; ь h,

ij,k

i.i-i.k

• (2.15)

-F.-x-Y

поток по Z справа

суммарный поток

2 J Лг

федняя плотность потока

(2.16)

Сравнивая полученное выражение с уравнениями J(2.5), мы видим, что осредненное значение коэффициента теплопроводности можно считать в данном случае федним арифметическим между коэффициентами тепло-гроводности соседних областей:

- 1 + 2 (2,17)

помощью полученного осредненного значения коэф-)ициента теплопроводности можно выразить четыре оставшиеся плотности потока:

Ср Лд. * X

-г-> J

ср л.

(2.18)

Таким образом, если граница проходит параллельно дной из координатных плоскостей и узел находится ;а границе раздела, то никаких новых уравнений для того узла записывать не надо. Можно пользоваться равнениями (2.9) и (2.10), только при вычислении ко-ффициентов А необходимо в выражения (2.11) вместо бщего коэффициента теплопроводности подставить значения осредненных коэффициентов:

(2.19)

A = Ah

[эскольку перед различными потоками 1 и \Гк [коэф-

(Ициенты теперь будут разными, мы будем помечать IX сверху знаками «плюс» или «минус», как и сами

[СТОКИ.

421 05