Главная -> Книги

(0) ( 1 ) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (1)

Уравнения (t.5)-(1.7) решают вопрос о Переходе от одной поверхности к другой. Удобно для вычисления ввести вспомогательную величину Ак = r+i - + - расстояние между двумя последовательными центрами поверхностей к и к + 1 (на рис. 1.2

величины г

); тогда величина r+i - s+i выражается через s и Л согласно формуле

Гк\1 - 5к1Х=Г~3 + А. (1.5*)

Формула (1.5*) заменяет формулу (1.5), сокращая несколько схему вычислений.

Параксиальные лучи

Основные формулы. Если луч проходит через всю оптическую систему на бесконечно малых расстояниях от оптической оси, то он называется параксиальным (нулевым или осевым). Так как углы, которые параксиальный луч образует с осью и с нормалями, также бесконечно малы, то для расчета хода параксиального луча через систему можно использовать формулы (1.1)-(1.4), заменяя синусы весьма малыми углами:

г - S

и = и + и - i;

r - s=r-

(1.1*)

(1.2*) (1.3*) (1.4*)

Формулы перехода от поверхности к к поверхности /с+1 те же, что и для обыкновенного луча, т. е. (1.5) и (1.6).

Ясно, что результат вычислений - величина s - не изме- няется, если все углы увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, т. е. результат не зависит от выбора единицы углов; поэтому параксиальный угол «i может быть взят произвольным. Вычисления удобно вести по той же схеме, как и вычисления для луча, образующего конечные углы с осью, с помощью тех же таблиц логарифмов; в обоих случаях встречаются общие величины, как, например, логарифмы радиусов кривизны, отношения показателей преломления, величины Л. Однако, когда нужно вычислить только значения s и s для параксиальных лучей, лучше применять другие формулы, в особенности если пользоваться арифмометром. Эти формулы получаются из основной формулы преломления через поверхность с радиусом кривизны г

рГмиожая обе части на h (расстояние МН на рис. 1.1) и обозна-отношения А = «, = м [«параксиальные углы», анало-

рчиые тем, какие встречались в формулах (1.1*) -(1.4*)1, полу-

пи - пи

h (п - п)

ли, вводя значки, указывающие номер поверхности преломления

(1.8)


Рис I 3

Для перехода от высоты на поверхности к к высоте на поверхности с номером /с+1 рассмотрим рис. 1.3, где начерчены две последовательные поверхности АМ и k+i1k+i> разделенные промежутком ЛА == d. Луч BCD после преломления через поверхность АМ падает на поверхность A+iMk+i, образуя с осью угол Из рис. 1.3 видно, что

"к+1

(1.9)

Формулы (1.8) и (1.9) позволяют вести расчет хода луча через всю систему. Величины s и s определяются соотношениями

Sk+1 -

Sk =

Uk+1

•легко получаемыми из чертежа.

Для практических вычислений удобнее ввести вместо перемен-ных-ы переменные пи; обозначив их буквой v, имеем

ПкУ,



Формулы для расчета хода параксиального луча через систему бесконечно тонких соприкасающихся линз. Во многих случаях при предварительных расчетах хода луча в сложных системах можно принять для упрощения, что отдельные части системы являются сложными линзами, состоящими из нескольких бесконечно тонких соприкасающихся простых линз. Обозначим оптическую силу одной из таких сложных линз с номером i буквой ф; из теории идеальных оптических систем известно, что

%+1 - щ Гк

где суммирование распространяется на все поверхности линзы i. Для всех линз группы i высоты h пересечения луча со всеми поверхностями компонента равны одной и той же величине Л,-. Применяя формулу (1.8) последовательно ко всем поверхностям компонента и складывая все полученные уравнения, получаем

а:~а. = /г.ф.; hi+i = hi - diai,

где а. и а. - углы с осью параксиального луча до и после преломления через линзу i; - расстояние между компонентом i и компонентом t+1.

Применяя последовательно эти формулы ко всем линзам системы, можно рассчитать ход параксиального луча через систему бесконечно тонких линз.

Как известно, эти же формулы могут применяться для системы линз конечной толщины, но в этом случае нужно понимать под высоты пересечения луча с главными плоскостями линзы. Кроме того, оптическая сила ф системы линз конечной толщины должна быть получена точным расчетом хода параксиального луча, падающего на нее параллельно оптической оси.

Соотношения, связывающие координаты двух параксиальных лучей. Если рассчитан ход одного произвольного параксиального луча через оптическую систему, то координаты любого другого параксиального луча связаны с координатами первого формулой

Qkx - Qks - hii (-l- s)i

(I.IO)

где Qkx и Qks - нулввыб инварианты первого и второго лучей для /с-й поверхности, т. е. выражения следующего вида:

/1 1 \

« / 1 \

1 \ /1 1 \

g JJ л: - расстояния от вершины поверхности к до точек пересечения с осью первого и второго параксиальных лучей; h я у - высоты пересечения с поверхностью к первого и второго лучей, аеличины Ук могут быть последовательно исключены из формулы (1.10) при помощи формулы

Вывод этих двух формул, принадлежащих Зейделю, можно найти в книгах Рора [1] и Чапского и Эппенштейна [21; он будет дан в гл. И (см. стр. 93-96). Формулы (1.10) и (1.11) вследствие своей сложности не применяются непосредственно для расчета хода лучей, но они имеют большое значение в некоторых преобразованиях выражений аберраций третьего порядка; в системах, состоящих нз конечного числа бесконечно тонких групп линз (впоследствии мы их будем называть компонентами), эти формулы значительно упрощаются и могут быть полезными.

Определение кардинальных точек оптической системы по координатам двух произвольных параксиальных лучей. Наиболее простой способ определения полой<ения кардинальных точек (главных точек и фокусов) состоит в расчете хода двух параксиальных лучей, входящих в систему параллельно оси: одного в положительном направлении, т. е. слева направо (прямой ход), другого - в противоположном направлении, т. е. справа налево

(обратный ход). Расстояния sp, и Sp. (рис. 1.4) между вершинами О и Осистемы и точками пересечения луча с осью в прямом (s,) и в обратном (Sp) ходе дают пололение фокусов (заднего и перед-

- * дают величины фокус-

0 н -f

него), отношения же = / и

ных расстояний (заднего и переднего). Положения главных точек относительно последней (для задней точки) и первой (для передней главной точки) поверхностей определяются отрезками f и t. Величины f и t считаются положительными, если главная точка лежит вправо от соответственной вершины. Например, на рис. 1.4



> о, а / <0:

При расчете луча в обратном ходе принимаем

fl = -fp\ = -Ipi,-

<-

«1 = n.

Пр\ . . .

Вместо двух указанных специально выбранных лучей для определения положения кардинальных точек можно воспользоваться


Рис. 1.5

расчетом хода двух произвольных параксиальных лучей; зная начальные координаты Sj и Uj, s, и конечные координаты sp

и Up, Sn и Up этих лучей, можно получить требуемые величины /, /, inf.

Обозначим через S я S (рис. 1.5) точки пересечения с осью йервого из этих параксиальных лучей до и после преломления. Пусть HS = -1 и Н S = р - расстояния от главных плоскостей до точек S и S. Соответственные величины для точек пересечения с осью второго луча обозначим и 1р. Два основных уравнения гауссовой оптики дают для первого луча

7 , г

для второго

Р -

Из этой системы уравнений получаем

Обозначим через si и Sp расстояния от вершин до точек S и S и через si и sp соответственные величины для второго луча. Из рис. 1.5 видно, что li = si - t, р = Sp - t . Следовательно,

Для второго луча

«1

Вычитая первое уравнение из второго, получаем

\ "1

откуда находим

Si - Si

1 =

(1.12)

«1 "i "Р

Зная / и /, легко определить tut:

upf+lf

t = s„ -

Upf + uJ

(1.13)

up , - лр .

"p "p

Для контроля вычислений фокусных расстояний может служить формула

nj + npf = 0, (1.14)

Формулы (1.13), выражающие f и / двумя различными способами, иного контроля не требуют.

Расчет хода лучей по Смиту

Т. Смит [31 предложил метод расчета, не требующий применения тригонометрических таблиц и пригодный для вычислений на арифмометре. Положение луча определяется синусом угла и и длиной р перпендикуляра ОН, опущенного на луч MS (рис. 1.6). Определим величину р в зависимости от углов и v\ i.



(0) ( 1 ) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68)