Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ( 13 ) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (13)

Сопоставляя ее с предыдущей формулой, получаем для А и А соотношения

/ пх - п

Т: А=--(rtT-rt).

(11.23)

Вычисляем разность угловых эйконалов W - =

= п {Nnh) - п (NNh). Из рис. П.22 видно, что Ynh = Al. Выражая А и А через / и т, получаем

W - Wh = п AT -пА1= -L{nx - п) (пЯ - • (11.24)

Для вычисления аберраций третьего порядка следует брать для W только члены четвертого порядка малости относительно


Рис. 11.22

Рис. 11.23

переменных \i, v, р, v. То же относится и к выражению W - W„, для разложения которого после замены I и I их выражениями через 1, [i я V, v

l = Vl-li~v = Yl-E= 1--L

Получаем

ц/ Гя = - (" {~~) • (И.25)

Поперечная аберрация 6g = у - Ру выражается с гюмощью формул (П.6) и (П.7) следующим образом:

-я% = + 4р= + 4. ("26)

Подставляя вместо W = Wfi + {W - Wfj) его выражение через [X, V, р и v и производя дифференцирование, получаем выражение для -nbg как функции от \х, v, р и v. Для вывода аберраций Зейделя, выраженных через /, т и М, нужно еще заменить [х, V, \i и v их выражениями через расстояние от точки до оси / и координаты т и М пересечения луча с плоскостью выходного зрачка. Помня, что р, v и р, v являются косинусами углов,

Образуемых лучом с осями г/ и z до и после преломления, мы можем написать следующие соотношения (рис. П.23):

(11.27)

у - т

- fi;

У - "1

X- S

х - s

Z - /И

- v;

г -ЛГ

= -v.

X - S

х - s

Величины гиг полагаем равными нулю, у обозначаем через /; кроме того, необ.ходимо исключить Г, т, М я удобно исключить также х - s. Для этого пользуемся соотношениями

Гр„/; т = ; =

где рр - линейное увеличение в зрачках.

Кроме того, условие Лагранжа-Гельмгольца, применяемое к сопряженным плоскостям предмета и изображения, дает

па/ = па1.

т V о .

следовательно.

= (x-s)p,Po- = (x-s)p,T. (П.28)

Х S - (Х ),п I п п

После исключения V, т я М с помощью перечисленных формул выражения (И.27) принимают вид

т~фр . ш-Ш„ М , М

т - Фо . .

" x-s (x-s)pp

X -s

Подставим эти выражения в полученную формулу для -iibg. .Обозначая

о; -J==-ir; f>p-T (П.29)

целью сохранения в выражениях для аберраций лишь угловых еличин поля зрения w я апертур (о и iY, получаем окончательно

- 2nbg = S,(o (со2 + Й2) + S„ (Зсо + Q) W +

+ (35i„ -ь J%v) «да + Sv;

- 2n6G = S,0 (соЧ Й") + 5„2«Йда + + (S„, + ./S,v)

(П.ЗО)

= паР(х -s) = -n/ap

т -т

nfaP

т - т

па/, (И.ЗО*) 81



так как (рис. 11.23)

X-s = f-~; l = p{x~s).

Величина J представляет собой инвариант Лаграпжа-Гельм-гольца; если Sj = оо, то J = nja. При этом

-±Sj = b, + 4&3T + 6b,i + ibT + Ь,т + - S„ = &4 + З&зТ + 3&2T2 + &,тЗ + т (&з + З&2Т+

(§„, + 4 Siv) =b, + 2b,T + Ь,т +

(11.31)

+ 2х (63 + 2b,T + 6it2) + х (b, + 2&1Т + &oTi + + 4- r«t(l+0;

-- Sv = &4 + &.,T + 3t + b.,T) + Зт" X

X {b, + t) + x (6, + V) -I Y (1 + );

--2-iv - („)2 •

В этих формулах коэффициенты b выражаются через коэффициенты а следующим образом:

Ь4 = «1--Ь = {а + ау, ao = a, + ~fn;

(11.32)

Отметим, что коэффициенты углового эйконала а, а,, . . , Ов не зависят от положения зрачка и, за исключением и Ое, не зависят также от положения предмета. Они являются такими же инвариантами оптических систем, как и радиусы, толщины и показатели преломления, но связаны с коэффициентами аберраций гоораздо проще, чем перечисленные конструктивные элементы, а именно линейным образом. Поэтому они являются удоб-

ными характеристическими величинами оптических систем, определяющими качество изображения, даваемого этими системами.

Формулы (11.31) могут быть написаны в удобном для запоминания виде, если только ввести следующие обозначения:

§1 = S; S,ii -f -g- Siv = 3, Sy = S4;

S,i = 82, Siy = Siv

и понимать операцию {{b + t)p как возведение в степень р бинома ( + т) с последующей заменой степеней b индексами при той же величине, так что

(Ф + т)р = bp + pbpix - f V- + • • • +

и полагать при этом, что Ьщ 6" = &,„+„.

Тогда формулы (11.31) люгут быть заменены одной формулой

•3-Кхк-1

(11.33)

что легко проверить, проделав указанные операции.

Формулы (11.30), (11.31) или (11.33) позволяют найти аберрации третьего порядка системы при любом положении предмета . и входного зрачка, определяемом величинами х и х, и решают важную задачу об изменении аберраций при изменении положения предмета или входного зрачка.

Определение коэффициентов & ь &о, бь 62, бз, bi. Для применения формулы (11.33) нужно знать численные значения этих коэффициентов. Они люгут быть получены следующим образом.

Рассмотрим случай, когда предмет на бесконечности, а входной зрачок в переднем фокусе системы. Пусть суммы, рассчитанные для этих положений предмета и входного зрачка (при условии, что •ttp = 1 и Pi = 1), равны соответственно значениям Sj, S,,, 5„[, iv, Sy. Из формул (11.31) при X = О и т = оо вытекает

2 Sj - 64; 1

b-л,

[ 2

f Sv = + -f/«.

(11.34)

Остается неопределенным коэффициент bg. Его можно опреде-лить следующим образом.




Вычислим сумму 5i для второго рассчитанного в обратном ходе луча, т. е.

Si =

Д4- при р;=1; =

Поперечная сферическая аберрация третьего порядка 6g луча, проходящего через передний фокус, определяется по формуле

- 2n6g = Sicos. Но Si определяется по первой из формул (П.З]), а именно:

так как т стремится к бесконечности и члены, содержащие т в степенях меньше четырех, исчезают. Отсюда следует

ndg = 5цХ*ш.

Так как 6g бесконечно большое, переходим от поперечной аберрации к угловой [а] = -; угловая аберрация остается постоянной при беспредельном увеличении s и 6g. Ввиду того что s , где т - расстояние от оси до точки пересечения луча с выходным зрачком, имеем

п [а] =--

=-- со

так как можно принять

Этой угловой аберрации [а] соответствует в обратном ходе поперечная аберрация 6g, равная [а ] f, где / - переднее фокусное расстояние системы. Поэтому

bg =

Но по определению фокусного расстояния -j- = o)i; следовательно,

n8g = - bo(Oi.

Учитывая изменение направления луча и сопоставляя последнее уравнение с вышеприведенным, получаем


При изменении хода луча меняются местами п и п, 6g и 6g, и со. Поэтому

0 = --- ("-34*)

Из формул (П.31) и (11.33) вытекает очень важное следствие - невозможность существования оптических систем, исправленных для всех положений предмета и входного зрачка. Действительно, необходимость устранения всех пяти сумм Зейделя при любых значениях т (т. е. при любом положении предмета) приводит к тому, что все коэффициенты должны равняться нулю. Но при этом остаются не равными нулю члены, не зависящие от Ь и стоящие

в конце выражений для сумм например,

-Lfnr (1 + т) и т. д.

Исключением является случай / оо (плоскопараллельные пластинки, плоские зеркала, телескопические системы с увеличе- нием -"1 или -1), для которого возможно в принципе полное исправление аберраций pf. ц 24

третьего (и вообще любого) порядка.

Теперь предстоит вычисление коэффициентов Sj, 8ц, . . ., Sy для любой центрированной оптической системы со сферическими поверхностями. С этой целью вычисляется функция Wfj для одной поверхности и определяются коэффициенты аберраций третьего порядка для этого случая. Чтобы получить коэффициенты аберраций третьего порядка для всей системы, можно поступить следующим образом. Аберрации каждой поверхности с помощью теоремы Лагранжа-Гельмгольца переносятся в пространство изображений всей системы, и аберрация всей системы складывается Из аберраций отдельных поверхностей. Такое сложение законно для аберраций третьего порядка, так как те пренебрежения, роторые при этом делаются, сказываются только на аберрациях высшего (начиная с 5-го) порядка.

Вычисление коэффициентов b для одной сферической поверх-iocTH. Рассмотрим сферическую поверхность ОМ (рис. 11.24) с центром кривизны в точке С и радиусом г. Вычислим оптический

Ёь для случая, когда плоскость предмета и изображения про-ит через центр. Используем простую точную формулу для опти-<ого пути

W, = п Ш - пШ,

»уда

Wc = г (п cos i - п cos i). «о выражение легко приводится к виду

W, = rVn + п - 2rtncos (Г - О, (И.35)

легко проверить возведением в квадрат обоих выражений.



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ( 13 ) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68)