что за единицу принята величина а) или w вместо w (если вместо Pi за единицу принять pp. Так, например, формулы (11.45) могут быть написаны в виде

-2npap8gp = щ (со? + Ql) S[ + (Зсо? + Q?) wiSn + + coiwi (3Sn, + fsiv) + wlsy; -2npap6Gp = Ql (coi + 0\) Sl + 2o)iQiwiSu + Qiw] X X {S\n + fS[v),

где Sl, , . . ., 5y имеют те же значения, что и S,, Sn, только «1 (а не к) принимается равным единице.

После всех указанных выше (стр. 91) замен формулу (11.47) можно привести к виду

(11.47)

При этом

S" = s(l7)"f««««>-

(11.48)

s.v = -s(i:)"(f)«--«-i*"

4- + qLAk4

(11.49)

Отметим некоторые видоизменения формулы (11.49). Для этого необходимо применить две весьма важные формулы, выведенные впервые Зейделем и связывающие между собой координаты точек пересечения с поверхностями линз двух параксиальных лучей. В качестве таких лучей обычно принимаются параксиальный, проходящий через центр объекта, и параксиальный, проходящий

через центр входного зрачка. Вывод этих двух (юрмул приводится ниже.

Две формулы Зейделя. Эти формулы связывают координаты двух вспомогательных лучей. Эти же формулы могут применяться и для любых двух параксиальных лучей, проходящих через центрированную оптическую систему.

Первая из формул вытекает непосредственно из инварианта Лагранжа-Гельмгольца nlk = J, где J - постоянная. Для вывода формулы обратимся к рис. 11.25, на котором ON представляет одну из преломляющих поверхностей системы с номером к. Рассмотрим в пространстве предметов две точки Si и Pi на оси системы (в частности, это могут быть точка предмета и центр входного зрачка). Предположим, что и Рк - изображения этих точек, даваемые в параксиальной области частью системы, предшествующей поверхности с номером к. В частном случае, рас-сомтренном в гл. I, через первую точку проходит

первый вспомогательный луч, не показанный на чертеже, через вторую - второй вспомогательный луч ЛРк, образующий с осью угол р,(. и пересекающий поверхность ON в точке на высоте у,. Этот луч проходит через конец отрезка SL, равного 1; координаты точек S и Р. как и раньше, обозначены буквами и Хк- Очевидно, что для параксиального луча NP

р = - = -

Хк Хк •Sk

Угол а, образуемый с осью первым вспомогательным параксиальным лучом, определяется аналогичной с}юрмулой

РЛе ~ высота точки пересечения луча с поверхностью ОМ. Инвариант J может быть преобразован следующим образом:

Рис. 11.25

Окончательно

yKK{Q..~Q.K) = J ("-50)

и, в частности,

У.К (Q.« - QsJ = УгК - Qsi). (1150*)

где QxK и QsK - инварианты Аббе.

В таком виде обычно и пишут первую формулу Зейделя. Эта формула связывает разность величин Qk - Qsk. относящуюся

к любой поверхности к, п J с величиной - Qsi,

относящейся к первой поверхности:

Первая формула Зейделя может быть записана и в таком виде:

УкК {QxK - Qsk) = уА! X

Рис. 11.26

(11.51)

Следовательно, первая формула Зейделя позволяет исключить величину Qx, выражая ее через Q{, но в выражение для Q через Q входит еще и координата второго луча у.

Вторая формула Зейделя связывает у с координатами первого вспомогательного луча, с радиусами, толщинами и показателями преломления линз, а также с воздушными промежутками между линзами; в сущности, она представляет собой не что иное, как формулу для расчета параксиального луча через систему.

Пусть Ок 1 и (рис. 11.26) - вершины преломляющих поверхностей с номерами к - 1 и к; Л1к 1 и - точки пересечения первого вспомогательного луча с обеими поверхностями к - 1 и к после преломления через поверхность к - 1. Из подобия треугольников AI-ik-ik и ММкТ.! имеем

hK-i - Iik

Hk-iSk

Последнее отношение в пределе равно

Таким образом,

tlK-i - к d.K-1

Аналогично

Ук-1 - Ук Ук-1

Вычитая первое уравнение из второго и умножая обе части

Ук-1

на =1г , получаем

"к

Ук-1

Ук-1 "-1 К

~ " -1 Зл:, к-1 - Qs -l)-

Применяя первую формулу Зейделя (11.50), имеем

Давая индексу к последовательно значения 2, 3, дывая все полученные уравнения, получаем

., р и скла-

Это уравнение может быть написано в таком виде:

(11.52)

Р к-ккПк

Можно переписать уравнение и таким образом:

или еще

У1 г/1 Р

=1Г + Mp(Q«-Qsi)ap.

(11,53)

(11,54)

Для этого достаточно умножить обе части уравнения (11.52)

На отношение -. В некоторых случаях (например, при определении аберраций в зрачках) необходимо знать величину 7, Имеющую тот же смысл, что и /, но относящуюся к зрачкам. Заметим, что

7 = ПкШкРк = ккУк (Qsk - Q.k) == кУк (~ - ~) =

\ Хк Sk j

При любых значениях к. В системах без отражающих поверхно-•ей или с четным числом таковых

/ = npaptp = ПрарРр {хр - sp) = па {х, - Si).

Если предмет на бесконечности, то при = 1; = 1; / = -1;

pi = 1; i; = fh

Если в оптической системе имеется нечетное число отражающих поверхностей, то для предмета иа бесконечности при а 1; п; = 1; - 1

/=-+!, так как /р > 0.

Выражения сумм S после исключения величины Qx- Большое практическое значение имеет в формулах (11.49) исключение величин и Для этого служит формула (11.51), из которой

вытекает, что Q„ = Qsk + irrr- Величину А i можно исключить.

пользуясь следующими соотношениями:

х г п x г

0£ п

откуда

Тогда формулы (11.49) принимают вид

J У hie УК Q л l L il V л

>iv

hly\

Zj гк " n

я j/k fti J La

(11.55)

Переходя к переменным a, пользуясь.формулами, приведенными на стр. 91, и вводя обозначения

п ;

\ 1 п

ct - к \ 1 j

ал - an

получаем

iv = TfT" У1 TT

(11.56)

Коэффициенты при Sj, . . ., Sy в выражениях для naJbg и nabG даны в формуле (11.48).

Эти выражения сумм очень полезны для систем, состоящих из отдельных сравнительно тонких компонентов. Отметим, что суммы S и S связаны следующими, легко получаемыми из сравнения формул (11.43) и (11.49), соотношениями:

Su = hbjiSu; Sv = A, ?Sv.

Sm =hWlS

(11.56*)