Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) ( 17 ) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (17)

и подставляя вместо его значение из этой формулы во все формулы (11.56) для сумм 5j, . . ., Sy, получаем

5, = 2 hP; Su-jIihP+jj:{hPo~W);

-К 2 {hPo 2Wa + 4 A 4) ;

1 . a« VI П

2лр+з(-;4/2(/Ра-1г)

l /2 V П

(11.61)

Для перехода от коэффициентов к аберрациям следует применять формулы (11.45). Для краткости вводим следующие обозначения:

s /iP = Si; ц (hPa - W) = s,]

\ (11.62)

ЗД+п)-4а4-

= s,.

Bee величины s, Sg, Sg, s, .Sg не зависят от положения входного зрачка. Последнее характеризуется отношением которое для краткости обозначим буквой g. В таком случае

5, = s,; Sn == gSi + /sa; Sm = gs+ 2/gS3 + } (11.63)

Sy = g\ + 3g4s, + gJ {3s, + + J%;

Влияние перемещения входного зрачка на аберрации третьего порядка. Формула (1L63) показывает следующее:

1) если Si =--- О, то Si О и S,, не зависят от g (положения

зрачка);

2) если Si = О и Sn = О, то и равны нулю, а следовательно. Sin = -Sg не зависит от g;

3) Siv от S не зависит;

4) если Si = Sn = S = S,v = О, то = О, 50 = 53 = «4 = = О, а следовательно, Sy = ./Sg и не зависит от положения входного зрачка.

Отсюда вытекает следующая теорема, имеющая большое практическое значение: при исправлении первых t аберраций третьего порядка аберрация с номером / + 1 {при изложенной выше системе нумерации аберраций) не зависит от положения входного зрачка. Например, если исправлена сферическая аберрация, то нельзя использовать положение входного зрачка для устранения комы; если и сферическая аберрация и кома исправлены, то астигматизм и кривизна поля не зависят от положения входного зрачка.

Если все аберрации неправлены за исключением дисторсии, то на эту последнюю нельзя воздействовать никакилт изменением положения входного зрачка. В само.м деле, все лучи одного пучка, вышедшие из какой-нибудь точки пространства предметов, пересекают плоскость изображения в одной точке; какой бы луч ни считать за главный (т. е. какое бы ни выбирать положение входного зрачка), дисторсия измениться не может.

Влияние положения предмета на аберрации третьего порядка. В большинстве оптических систем положение плоскости предмета не постоянно (зрительные трубы, фотографические объективы и т. д.), и необходимо определить, как влияет на качество изображения изменение положения предмета.

Этот вопрос с достаточной для практики точностью может быть решен с помощью формул (11.33), составленных для аберраций третьего порядка. Для этого надо вычислить коэффициенты . . ., bi по формулам (11.34) и (11.34*).

В большинстве случаев изменение положения предмета невелико. При этом положение входного зрачка не меняется. Изменение сумм может быть вычислено дифференцированием формул (11.31) по величине т. Например, для Si получаем

-S,) =

4 (b + 3V + З/т + +fn{\+ Зт2)

Для частного случая т = О имеем

d{-±S,) = {4b,+ fn)dr. (П-64)

Условие, чтобы сферическая аберрация оставалась исправленной при больших расстояниях допредмета, формулируется так:

S, = 0;

dSi = О,



откуда вытекает, что при т - О

0; b, = ~-Lfn.

(11.65)

Заметим, что условие уничтожения комы выражается следующим

образом: Sn = 0; + 63т = 0. Ввиду того, что &4 = О, получаем

&з = 0. (11.66)

Условие апланатизма противоречит условию Гершеля, выражающему равенство нулю сферической аберрации для бесконечно малого продольного отрезка прямой. Наилучшим решением является компромисс:

(11.67)

Аберрации третьего порядка центрированных систем с несфернческими поверхностями

Хотя теория аберраций третьего порядка центрированных оптических систем может быть построена для общего случая несферических поверхностей, все же более целесообразно рассматривать отдельно сферические и отдельно несфериче-V ские поверхности по следующим соображениям.

/ Большинство оптических систем не содержит не-

/ У сферических поверхностей, так как их точное

изготовление представляет большие затруднения.

-»- Для этого большинства должны быть составлены

наиболее простые формулы. К тому же введение

\одной или нескольких несферическнх поверхностей производится вычислителем только в том случае, когда не удается решить задачу исправле-Рис. 11.27 системы с помощью одних лишь сферических

поверхностей. Но тогда задача может быть решена в два приема: сначала для сферических поверхностей, а далее вводятся коэффициенты деформации в одной-двух поверхностях и с их помощью усовершенствуется система из сферических поверхностей. Роль деформации сферической поверхности более наглядно выступает при отдельном ее рассматривании.

Введем сначала понятие коэффициента деформации Ь. Рассмотрим (рис. Н.27) меридианную кривую ОМ поверхности вращения с осью Ох. Ее уравнение в декартовых координатах может быть написано в виде

x = f{y).

Для сферы это уравнение, как это вытекает из уравнения окружности у - X {2г х) после того, как оно решено относи-

тельно X, имеет вид X =

,3 I 1R

16 Г5 •

Заменим сферу поверхностью вращения с радиусом кривизны Ее уравнение будет

1 у

у вершины равным г

Сравнивая эту поверхность со сферой, напишем ее коэффициенты aj, в виде

i i i -- и f "

а, =

«2--Гб

1 (\+с)

Рис. 11.28

Коэффициенты b и с люгут быть названы коэффициентами деформации, поскольку деформация исчезает, когда эти коэффициенты равны нулю.

Укажем в качестве примера, что если b = -1, с -1 и т. д., поверхность является параболоидальной .

Разность MMi, отсчитанная параллельно оси от сферической поверхности до деформированной, определяется разностью Ах абсцисс при одном и том же у (рис. 11.28):

8 г- 16 "

Ах =

Вычислим изменение углового эйконала AW, вызываемое деформацией поверхности. Определим сначала расстояние AN по нормали между сферической и деформированной поверхностями. Оно равно Ах cos ф, где ф, как принято, угол между нормалью к поверхности и осью. Но если ограничиться первым членом в разложении X, то получим, что

Отступление несферической поверхности от сферической, отсчи-

тываемое вдоль падающего луча, можно написать в виде А = ,

{ где i - угол между падающим лучом и нормалью к поверхности в точке преломления. С принятой степенью точности можно счи-I тать cos г = 1; тогда

А = AyV = Ах

1 bi/

Подробнее вопрос о связи типа поверхности с коэффициентом b будет рас-ремотрен в гл. IX.



приращение оптического пути AW, как это вытекает из определения углового эйконала W (см. стр. 51-53), равно А (п - п), а следовательно,

AW = - {п - п)

(11.68)

Формула (11.68) выведена для меридиональной плоскости. В общем случае вместо у нужно рассматривать величину Н - расстояние точки пересечения луча с поверхностью от оси.

Согласно изложенному выше, к ранее вычисленному нами угловому эйконалу W добавим для несферической поверхности с коэффициентом деформации b величину

д1Г = -46№.

Эту величину с точностью, нас интересующей, можно считать постоянной при переходе от сферической к деформированной поверхности.

Вычислим изменения величин nbg и n8G, вызываемые асферичностью поверхностн. Пользуясь формулой (11.26), получаем

A{n6g)= -

и аналогично

A{n6G) =

д(АЩ

dv •

Заметим, что IP Y Z, где Y п Z - проекции Н на меридиональную и экваториальную плоскости. Для каждой из этих проекций, как это вытекает из общих теорем геометрической оптики, можно написать формулы преломления

-{п - n) = - {iin -у{п - п) = -(vrt -vn).

(11.69)

Возводим в квадрат оба выражения и складываем, помня, что

по определению jijx + vv = б:

(см. стр. 79)

= 8;

Я2 "1-,- = пЧ + пЧ - 2пп8;

Я* , S г{пЧ +-2nn6f 7(" -п) = ~--

Для AW получаем

А = - 8(3- ("ь: + пЧ - 2п«б)

(11.70)

Составим выражения + т1Ш- и 1 + , После простых выкладок получаем

A(-n6g)i + T-(«)-

Заменим выражение (пЧ + пЧ - 2ппЬ) его значением

-pjr (« - и (яр - пуС) - его значением-- (« - «),

после чего получаем для А (n8g)

(n8g)=.-HW{n ~пх). (11.71)

Аналогично получаем для А (n8G)

А{пШ) = -ЗНЧ{п- пх). (11.71*)

Остается выразить Н и Z через величи- Рис. 11.29

ны h, у, I, S и X.

Пользуясь рис. 11.29, на котором изображена проекция параксиального луча на меридиональную плоскость, имеем в простран стве изображений

Y = m + x


s - х

Аналогично

Z = M +.х~

S - х

Ms s~x

Подставляя эти значения F и Z в выражения (11.71) и (11.71*) для А (n8g) и А (n6G), что допустимо в области аберраций третьего порядка, получаем

- А {n8g) = -А. ( 4 [{ms - Ix) +

+ (ms - Ix) = 4r [sm (M + m) -

- sHx (3m2 + M2) + 3sml4 - Ix""] =

-Ь 3s.\;2(oay2 + xw-].



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) ( 17 ) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68)