Главная -> Книги (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) ( 19 ) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (19) где р - линейное увеличение системы для сопряженных точек А и Aq. В плоскости А ордината г/о равна уг + HAqS,. Обозначим Н Ло через -А. Тогда - А = HAo = HS + SAo = - (-sinu cos и + 8sу, yo = dlr-&A. (11.83) Для комы Km В плоскости АН получаем
Km = Km = dlr п dl cos и du n! cos m dti d (sin u) d{x sin m) d/r + eA (11.84) + 8A. (11.85) это выражение по sin и , получаем sin и * • djsm и) 1 I s Td(sin a) "~ "t" 6s + sin u d (sin m) eA. (11.86) d (sin h) . Определив кому для плоскости АН, нужно вычислить ее для плоскости О. Этот переход может быть выполнен следующим образом. Пусть (рис. П.33) yi =-= H\Ai - высота пересечения луча с плоскостью Hi, а у = Я2Л2 - высота пересечения того же луча с плоскостью Н; пусть А - расстояние между этими плоскостями. Имеем г/2 = г/1 - А tg и . Пусть известна кома Ki для плоскости Hi- Для плоскости Яа она получится по формуле K2 = Ki~A - tgMo sin Uj = sin (0 -)- e; sin u = - sin (0 + e; sin «0 = + e; cos f( i cos и (11.87) (11.88) Если sin u+ = sin CO + e, то с точностью до членов, содержащих е в первой степени, имеем cos ы4- = cos со - 8 tg со , как легко проверить из соотношения sin со + cos со = 1. Подставляя в формулу (П.89) значение cos и , получаем после простых преобразований следующее выражение для tg и : sin со , е 1. / /1 , sin со \ , te"+= cosco-etgco- + tg + i. / , / sin CO , 1 \ . / , cos CO cos" CO Отсюда = г-{d-)-Kl-г{-l), (11.90) и, если заменить А его значением d(6s ) . , /IS/ \ , sm и cosw -4- os (11.91) TO после некоторых преобразований получаем выражение для комы в плоскости О Ко - / d sin и с . , , 6s tgtj \ 6s sm и -\--, , . - Sa В случае, если s = со, величина 6s = sin и т sm и (11.92) 1 теряет ;мысл и заменяется выражением g SjSin и Si TSin и Я формула принимает вид d 1 h, sin и f Ко- = / d (sin и) j- - smu 6s tg u (11.93) Для комы, вызываемой сагиттальными лучами, Конради [4] была выведена формула, которая после перехода к нашим обозначениям имеет вид sin Ui Sq - X I * т Sin и s - x где Ks = Is ~ l; Is ~ ордината точки пересечения двух симметричных сагиттальных лучей, исходящих из точки / объекта и принадлежащих зоне зрачка, соответствующей апертуре sin (величина / предполагается бесконечно малой); / - ордината точки пересечения главного луча того же пучка с плоскостью, в которой пересекается пара сагиттальных лучей (эта плоскость при бесконечно малом / содержит точку пересечения с осью луча, исходящего из точки предмета на оси с апертурой sin Ui); Sq и s - абсциссы точек пересечения с осью параксиального луча и луча с апертурой sin и-. Приведем формулу к более удобному виду Kg J sin «1 / т sin и sin «1 Sp - X + As -As s -X T sin и So + As -x Помня, что получаем sin «1 т sin и 1 б, и вводя это значение в формулу. 7- + б, X - s (11.94) где As = s - Sq. Последним членом формулы (П.94) в большинстве случаев можно пренебречь. Любопытно, что для сагиттальной комы выражение комы непосредственно связано с отступлением бд, в то время как для меридиональной оно связано с производной от 6s по аргументу sin и. Для практического применения формул следует графически представить функцию б sin и -\--в зависимости от Xq - Sq аргумента sin и и измерить угол касательной в нескольких точках кривой. Если ограничиться аберрациями третьего порядка, то можно считать 6s = D sin и; 8s = А sin и, где Л и D - коэффициенты, зависящие от конструкции системы и положения предмета. Заменяя tg и в формуле (П.93) через sin и, получаем d (sin и) Dsinw + А sin* и = 3/ (11.95) Однако последней формулой необходимо пользоваться с осторожностью (при отсутствии высших порядков величин бз и 6s). Значительно лучше следить не за самой величиной б sin и + + " , а за ее производной и добиться того, чтобы производ- Xq - Sp ная по sin и обращалась в ноль (если нужно исправить кому). Признаком отсутствия высших порядков комы служит пропорциональность величины т] = 6s Н--7-7- или ц = - , + 0 ~ *0 *0 ~~ *0 -\- ~г- (когда предмет на бесконечности) квадрату апертурного угла sin и (или hj). В таком случае можно считать, что реальная кома Km определяется упрощенной формулой (11.96) Пример. Двухлинзовый склеенный объектив работает с увеличением - 1. Входной зрачок совпадает с объективом; фокусное расстояние его 600 мм, диаметр отверстия 120 мм. Сферическая аберрация 6s для луча на краю отверстия (т- = 60) равна \ ,Ъ2мм; отношение " для этого луча равно -1,0062; для параксиаль- ного луча = -1. Определить кому объектива для точки изображения с координатой /р = +2,5 мм при полном отверстии. Применяя формулу (11.96), имеем 6; = 3-2,5 (----0,0062) = = 7,5(-0,0014 -0,0062) = -0,056. Точный тригонометрический расчет дал для величины б значение -0,061. Любопытно получить для этого же объектива величину меридиональной комы на основании его второй суммы 5„. Эта сумма по формуле (11.47) оказалась равной +6,45/, а / = «i (лг - Sj) = = Xi - Si. Таким образом, - 2rtpa;6gp,K = 3(o>iS„ = 3(0>i(xi -Si) = 3o)?/i.6,45. При Пр = \; ар = -\; h = -2,5; coi = 3 60 \2 -120г получаем 6;,, = - -f (-il) 2,5-6,45 = - 0,060. Результат совпадает с тем, который дает тригонометрический расчет. Другой вывод формулы, связывающей отступление от отношения синусов с коэффициентом сферической аберрации и комы, Пригодной лишь в пределах аберраций третьего порядка, пред-ргавляет интерес ввиду того, что прием, используемый в этом слу-Rae, встречается и при выводе таких аберраций, как хроматиче-ВКая разность увеличений и хроматическая разность сферических рберраций. Поэтому мы его здесь приводим [2]. Пусть по-прежнему sin и. sm и. smu„ sm и. (11.97) sin и Вычислим отношение--- члены второго порядка малости. Напишем очевидное тождество принимая во внимание только sin Ui sm up sm Up j sin up sin Up i sm uc, (11.98) Отношение sm и для любой поверхности может быть опреде- лено из треугольника (см. рис. 1.16), где М5 - падающий луч; МС - нормаль; ОС - оптическая ось системы; MS - преломленный луч: MS MS -V. (11.99) sm uk Mb p Отрезки p = MS и p = MS могут быть определены из треугольников MSC и MSC: рЧ = {г - s)2 -f г2 - 2г (г - s) cos ф = s2 + 2г( г - s) (1 - cos ф) = = s2 4r(r -s)sin2--С указанной выше точностью можно написать р2 = 52+г(Г-5)ф2, откуда, используя разложение в ряд для квадратного корня получаем р = s 1 + --4- ф2 2 S Аналогично для отрезка р находим / г Fl I 1 ( - s) 9 р = s 1 + 2 Ф L S С той же точностью определяем отношение отрезков 1-ФА r{r - s\ (11.100) корня, (11.101) (11.101*) (11.102) где А г , согласно обозначению Аббе, заменяет разность r{r-s) r(r-s) = -г(?зА4-. (11.103) Следовательно, Перемножая отношения с той же точностью для всех поверхностей, имеем sm и. Рр Рр-1 Рр Рр-1 Pi Pl . (11.105) Для вычисления произведения отношений вводим отрезки ок ок • соответственных параксиальных лучей; полагаем, что = -f 6s; = + 6s, где 8s и 6s - продольные сферические аберрации луча до и после преломления через рассматриваемую поверхность с номером к. Разлагаем в ряд выраже- ние для отношения g : Ss 6s 1 +--А + (11.106) с принятой точностью останавливаемся на первой степени отношения -, так как - величина второго порядка мало- сти, пропорциональная квадрату угла и. Для произведения всех отношений имеем (11.107) Сумма S может быть разбита на пары членов следующим образом: = -+ «1 6S2 6Sj «1 / H------ \ «3 hi где для краткости опущены значки 0. (11.108) (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) ( 19 ) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) |
|