где р - линейное увеличение системы для сопряженных точек А и Aq.

В плоскости А ордината г/о равна уг + HAqS,. Обозначим Н Ло через -А. Тогда

- А = HAo = HS + SAo = - (-sinu cos и + 8sу,

yo = dlr-&A. (11.83)

Для комы Km В плоскости АН получаем

Km =

Km = dlr

п dl cos и du n! cos m dti

d (sin u) d{x sin m)

d/r + eA (11.84) + 8A. (11.85)

это выражение по sin и , получаем

sin и * •

djsm и) 1 I s Td(sin a) "~ "t"

6s + sin u

d (sin m) eA.

(11.86)

d (sin h) .

Определив кому для плоскости АН, нужно вычислить ее для плоскости О. Этот переход может быть выполнен следующим образом. Пусть (рис. П.33) yi =-= H\Ai - высота пересечения луча с плоскостью Hi, а у = Я2Л2 - высота пересечения того же луча с плоскостью Н; пусть А - расстояние между этими плоскостями. Имеем г/2 = г/1 - А tg и . Пусть известна кома Ki для плоскости Hi- Для плоскости Яа она получится по формуле

K2 = Ki~A

- tgMo

sin Uj = sin (0 -)- e; sin u = - sin (0 + e; sin «0 = + e;

cos f( i

cos и

(11.87)

(11.88)

Если sin u+ = sin CO + e, то с точностью до членов, содержащих е в первой степени, имеем

cos ы4- = cos со - 8 tg со ,

как легко проверить из соотношения

sin со + cos со = 1.

Подставляя в формулу (П.89) значение cos и , получаем после простых преобразований следующее выражение для tg и :

sin со , е 1. / /1 , sin со \ , te"+= cosco-etgco- + tg +

i. / , / sin CO , 1 \ . / ,

cos CO

cos" CO

Отсюда

= г-{d-)-Kl-г{-l), (11.90) и, если заменить А его значением

d(6s ) . , /IS/

\ , sm и cosw -4- os

(11.91)

TO после некоторых преобразований получаем выражение для комы в плоскости О

Ко - /

d sin и

с . , , 6s tgtj \

6s sm и -\--, , .

- Sa

В случае, если s = со, величина 6s =

sin и

т sm и

(11.92)

1 теряет

;мысл и заменяется выражением

g SjSin и

Si TSin и

Я формула принимает вид

d 1 h,

sin и f

Ко- = /

d (sin и)

j- - smu

6s tg u

(11.93)

Для комы, вызываемой сагиттальными лучами, Конради [4] была выведена формула, которая после перехода к нашим обозначениям имеет вид

sin Ui Sq - X

I * т Sin и s - x

где Ks = Is ~ l; Is ~ ордината точки пересечения двух симметричных сагиттальных лучей, исходящих из точки / объекта и принадлежащих зоне зрачка, соответствующей апертуре sin

(величина / предполагается бесконечно малой); / - ордината точки пересечения главного луча того же пучка с плоскостью, в которой пересекается пара сагиттальных лучей (эта плоскость при бесконечно малом / содержит точку пересечения с осью луча, исходящего из точки предмета на оси с апертурой sin Ui); Sq и s - абсциссы точек пересечения с осью параксиального луча и луча с апертурой sin и-.

Приведем формулу к более удобному виду

Kg J sin «1 / т sin и

sin «1 Sp - X + As -As

s -X

T sin и

So + As -x

Помня, что получаем

sin «1 т sin и

1 б, и вводя это значение в формулу.

7- + б,

X - s

(11.94)

где As = s - Sq.

Последним членом формулы (П.94) в большинстве случаев можно пренебречь. Любопытно, что для сагиттальной комы выражение комы непосредственно связано с отступлением бд, в то время как для меридиональной оно связано с производной от 6s по аргументу sin и.

Для практического применения формул следует графически

представить функцию б sin и -\--в зависимости от

Xq - Sq

аргумента sin и и измерить угол касательной в нескольких точках кривой.

Если ограничиться аберрациями третьего порядка, то можно считать 6s = D sin и; 8s = А sin и, где Л и D - коэффициенты, зависящие от конструкции системы и положения предмета.

Заменяя tg и в формуле (П.93) через sin и, получаем

d (sin и)

Dsinw +

А sin* и

= 3/

(11.95)

Однако последней формулой необходимо пользоваться с осторожностью (при отсутствии высших порядков величин бз и 6s). Значительно лучше следить не за самой величиной б sin и +

+ " , а за ее производной и добиться того, чтобы производ-

Xq - Sp

ная по sin и обращалась в ноль (если нужно исправить кому).

Признаком отсутствия высших порядков комы служит пропорциональность величины т] = 6s Н--7-7- или ц = - , +

0 ~ *0 *0 ~~ *0

-\- ~г- (когда предмет на бесконечности) квадрату апертурного

угла sin и (или hj). В таком случае можно считать, что реальная кома Km определяется упрощенной формулой

(11.96)

Пример. Двухлинзовый склеенный объектив работает с увеличением - 1. Входной зрачок совпадает с объективом; фокусное расстояние его 600 мм, диаметр отверстия 120 мм. Сферическая аберрация 6s для луча на краю отверстия (т- = 60) равна \ ,Ъ2мм;

отношение " для этого луча равно -1,0062; для параксиаль-

ного луча

= -1. Определить кому объектива для точки

изображения с координатой /р = +2,5 мм при полном отверстии. Применяя формулу (11.96), имеем

6; = 3-2,5 (----0,0062) =

= 7,5(-0,0014 -0,0062) = -0,056.

Точный тригонометрический расчет дал для величины б значение -0,061.

Любопытно получить для этого же объектива величину меридиональной комы на основании его второй суммы 5„. Эта сумма по формуле (11.47) оказалась равной +6,45/, а / = «i (лг - Sj) =

= Xi - Si.

Таким образом, - 2rtpa;6gp,K = 3(o>iS„ = 3(0>i(xi -Si) = 3o)?/i.6,45.

При Пр = \; ар = -\; h = -2,5; coi =

3 60 \2

-120г получаем

6;,, = - -f (-il) 2,5-6,45 = - 0,060.

Результат совпадает с тем, который дает тригонометрический расчет.

Другой вывод формулы, связывающей отступление от отношения синусов с коэффициентом сферической аберрации и комы, Пригодной лишь в пределах аберраций третьего порядка, пред-ргавляет интерес ввиду того, что прием, используемый в этом слу-Rae, встречается и при выводе таких аберраций, как хроматиче-ВКая разность увеличений и хроматическая разность сферических рберраций. Поэтому мы его здесь приводим [2].

Пусть по-прежнему

sin и.

sm и.

smu„

sm и.

(11.97)

sin и

Вычислим отношение---

члены второго порядка малости. Напишем очевидное тождество

принимая во внимание только

sin Ui

sm up sm Up j sin up sin Up i

sm uc,

(11.98)

Отношение

sm и

для любой поверхности может быть опреде-

лено из треугольника (см. рис. 1.16), где М5 - падающий

луч; МС - нормаль; ОС - оптическая ось системы; MS - преломленный луч:

MS MS

-V. (11.99)

sm uk Mb p

Отрезки p = MS и p = MS могут быть определены из треугольников MSC и MSC:

рЧ = {г - s)2 -f г2 - 2г (г - s) cos ф = s2 + 2г( г - s) (1 - cos ф) =

= s2 4r(r -s)sin2--С указанной выше точностью можно написать

р2 = 52+г(Г-5)ф2,

откуда, используя разложение в ряд для квадратного корня получаем

р = s 1 + --4- ф2

2 S

Аналогично для отрезка р находим

/ г Fl I 1 ( - s) 9

р = s 1 + 2 Ф L S

С той же точностью определяем отношение отрезков

1-ФА

r{r - s\

(11.100) корня,

(11.101) (11.101*) (11.102)

где А г , согласно обозначению Аббе, заменяет разность

r{r-s)

r(r-s)

= -г(?зА4-. (11.103)

Следовательно,

Перемножая отношения с той же точностью

для всех поверхностей, имеем

sm и.

Рр Рр-1

Рр Рр-1

Pi Pl

. (11.105)

Для вычисления произведения отношений вводим отрезки

ок ок • соответственных параксиальных лучей; полагаем, что = -f 6s; = + 6s, где 8s и 6s - продольные сферические аберрации луча до и после преломления через рассматриваемую поверхность с номером к. Разлагаем в ряд выраже-

ние для отношения g :

Ss 6s

1 +--А +

(11.106)

с принятой точностью останавливаемся на первой степени отношения -, так как - величина второго порядка мало-

сти, пропорциональная квадрату угла и.

Для произведения всех отношений имеем

(11.107)

Сумма S может быть разбита на пары членов следующим образом:

= -+ «1

6S2 6Sj

«1 /

H------

\ «3 hi где для краткости опущены значки 0.

(11.108)