Главная -> Книги

(0) (1) ( 2 ) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (2)

Длина отрезка ОМ равна 2г sin --. Из треугольника ОМН получаем р = МО cos / МОН; так как /.МОЯ = и---, то р =

= MOcos«--= 2г sin-- cos «--Но ц) = и - i,

поэтому ы--~ = -~ .

Следовательно,

аналогично

p=2rsin

и -f- i

P = 2rsin--cos-. Разность p ~p = 2/-sin

(I.I5) (1.16)

cos cos

cos

. Ho


-2Sin ±Ji±i+L Siniiiiiili .

Ввиду того, что и - и = г" - i и « Ч- г" = и + г,

cos

Рис. 1.6

= -2sin-iisini:. Следовательно,

-~----Sin

(1.17)

из фо;:"л (ЙГпГуГм""""" P- Z

sin Sin ilzii

Bee дальнейшие преобразования имеют целью освободиться от комбинаций углов и + i, i - а + in т. д. и оставить только величины sin i, sin i, sin и и sin и, что позволит обойтись без тригонометрических таблиц. Замечая, что

J sin i" - sin i

1 sin и -j- sin

2 TTT

И подставляя эти выражения в формулу для р-р, имеем

(sin / - sin i) (sin и + sin i)

2 cos -- cos -;r- cos -;r-

(1.19)

Преобразуем теперь знаменатель, преследуя указанную выше цель.

В курсах тригонометрии выводится соотношение

4 cos а cos 6 cos с = cos (а + 6 - с) + cos (а - 6 + с) -f-

-)- cos (- а + 6 + с) + cos (а + 6 + с).

Применяя его для вырал<ения, стоящего в знаменателе, получаем

4 cos -- cos -2- cos--- 1 + COS (t + t ) +

+ cos {и - V) + cos (u + 0-

Полагая

0 = sin V - Sin i + Sin u; 1 T = cos t" + COS i + cos и j и составляя выраж;ение + - 1, имеем

х2.о2 - 1 =2[1 + cos(t + r) + cos(« + t) + cos(« -t)]. (1.21)

Таким образом, знаменатель формулы (1.19) для р-р принимает вид (т + - 1) и окончательно

(sin / - sin i) (sin и + sin i)

(1.20)

x3 + o- 1

(1.22)

Последняя формула позволяет переходить от р к р.

Отметим, что величина р-р всегда мала, порядка продольных аберраций луча. Ее можно вычислять с точностью на два порядка меньшей, чем остальные величины (sin и, sin и, sin i, sin /).

Между величинами pus существует зависимость

р = ssin«.

Величины р и sin i связаны соотношением sin i =sin «--у,

которое получается из основной формулы расчета

. . г - S . . S sin ы . р

8ШI = -sm и = sin «--= sm «---.

г г г

Переход к sin и происходит с помощью аналогичной формулы

sin и = -у- + sin V = sin V -\--у +



Последнюю формулу можно написать и так: sin и = sin « + sin i - sin i +

sln« = a + •

Переход от поверхности с номером к к поверхности с номером к + 1 выполняется согласно формуле, вытекающей из рис. 1.7:

Рк+1 = рк~(1к sin ик-

Таким образом, для расчета хода луча имеем последовательность формул:

для первой поверхности

Pi = sin U{, для любой поверхности


1. sin t = sin н -

2. sin Г = sin i;

3. а = sin « -j- sin i - sin t;

4. T = cosM-l-cosr + cosf;

5 n » л „ (sin - sin 0 (sin и + sin l

6. sinw для перехода

(1.23)

7. p„+i = -dsinu. (1.24)

Для удобства вычислений необходимо иметь таблицу значений косинусов по данным синусам. Точность в 0,0001 является вполне достаточной при шестизначных вычислениях.

Преимущества формул Смита по сравнению с обычными, приведенными выше, следующие.

1. Эти формулы приспособлены для вычислений с помощью счетных машин.

2. Они не требуют применения таблиц, за исключением четырехзначной таблицы перехода от синусов к косинусам.

3. Наиболее ответственная часть вычислений, а именно переход от р к р, требует в большинстве случаев не более четырехзначной точности.

4. Величина р-р пропорциональна поперечной аберрации луча на той поверхности, для которой она вычисляется. Это позво-16

Йяет определить, на каких поверхностях возникают аберрации оптической системы, выяснить их причины и принять меры к их устранению.

5. Вычисления, производимые по формулам Смита, в отличие от вычислений по обычным тригонометрическим формулам не теряют точности при больших радиусах кривизны. Они пригодны и для того предельного случая, когда радиус поверхности делается бесконечным, т. е. поверхность становится плоской, и это свойство формул делает их пригодными для расчета с помощью автоматических машин, так как в данном случае весьма нежелательна необходимость перехода с одних формул на другие при переходе к плоским (или близким к плоским) поверхностям.

Главным недостатком формул Смита является их громоздкость, удлиняющая процесс вычисления. Кроме того, могут встретиться такие случаи, когда четырехзначная точность при вычислении разности р-р недостаточна. Это происходит тогда, когда углы i и / имеют противоположные знаки (отражение) или sin и + sin i принимает большое абсолютное значение, что может случиться в системах с большими углами поля зрения или значительными апертурами. В оптических системах, содержащих отражающие поверхности, применение формул Смита требует особых предосторожностей, в частности увеличения числа знаков до пяти или шести при вычислении разности р-р. Тогда четырехзначные таблицы для вычисления косинуса по известному значению синуса должны быть заменены таблицами, содержащими большее число знаков, а может быть, выгодно обойтись без таблиц и вычислить косинус по формуле cos л: = ± "j/ 1 - sin х.

3. РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Расчет хода лучей в пространстве с помощью формул аналитической геометрии

Рассмотрим формулы, позволяющие решать задачи, связанные с расчетом хода лучей через оптическую систему более общего !Гипа, чем рассматриваемые до сих пор.

Решим сначала такую задачу. Предположим, что известны направление падающего луча, направление нормали и показатели преломления двух сред, ограничивающих преломляющую поверхность. Определим направлениепреломленного луча.

Рассмотрим сферический треугольник XNU (рис. 1.8), в кото-fiOM X - точка, соответствующая направлению оси х\ N - точка, соответствующая направлению нормали; U и U - точки, соответствующие направлениям падающего и преломленного лучей.

Обозначим через а, Р и у косинусы углов, образуемых направлением и с осями Ох, Оу, Oz; через а, Р и у - направляющие косинусы углов, образуемых направлением U (преломленным

г. г Слюсарев



лучом); через [.i и - направляющие косинусы нормали к преломляющей поверхности в точке пересечения луча с поверхностью; через Nx - угол между нормалью и осью X. В сферическом треугольнике XNU имеем

а = Я cos г -f sin i sin cos / XNU; a X cos i + sin i sin <V I cos XNU.

Умножая первое уравнение на -п, второе на п и складывая, получаем

па ~ па = (« cost - ncosi) X. (1-25)

Положим для краткости « cos Г - п cos i = Л; тогда па -


- па --= ХА. Аналогично

яу - пу = vA.

(1.25*)

Рис. 1.8

2) вычисляется / по формуле

Последовательность вычислений такова:

1) вычисляется i по формуле

cos; = аЯ + Р!-+ Yv; (1.26)

Sim" = 4-sin г,

(1.27) (1.28)

(1.29)

3) вычисляется Л по формуле

А = /). cos i - п cos i;

4) вычисляются а, Р и у по формулам

па = па + лА; пР = пр + .11 А; ttV = пу -f vA.

Напоминаем, что положительное направление нормали совпадает с положительным направлением распространения света. Формулы (1.29) для луча, лежащего в меридиональной плоскости, принимают вид

п sin и - л sin а = А;

} (1.29*)

п cos« ~ п cos « = А cos ф.

Последняя группа формул решает поставленную задачу. Она имеет простое геометрическое толкование.

Пусть L - единичный вектор, изображающий падающий луч, проекции которого на оси суть а,р,у; L - вектор, изображающий преломленный луч, с проекциями а, у; N - вектор нормали с проекциями X, [i, v.

Группа формул (1.29) может быть заменена одной векториальной формулой

ПА =nA + \N. (1.30)

Направление вектора совпадает с направлением распространения света.

Эта формула удобна в тех случаях, когда направление векторов Л, Л и Л не зависит от положения лучей, например прн вычислении хода лучей через призмы или системы призм. Заметим, что в случае отражения лучей нужно считать п = -п и учесть изменение направления распространения света.

Тогда уравнение (1.30) принимает вид

А = A~2Ncosi. (1.31)

Положительным направлением вектора N считается то, которое совпадает с направлением распространения отраженного света.

Приведем одно преобразование выражения А = п cos г" - - п cos i, которое дюжет быть полезно в некоторых случаях.

Возведем в квадрат все уравнения (1.29) и сложим. Ввиду ортогональности осей имеем

Х + С-+ = I;

а- + р2.

Y= 1.

Кроме того,

аа + pfi + yy = cos (Г - t). Принимая во внимание последние соотношения, получаем

л2 - 2пп cos (Г - г) + п = (I-.32)

Формула (1.30) является основной для метода расчета хода косого луча через систему сферических, а также несферических поверхностей, предложенного И. В. Лебедевым [4].

Пусть а, Рк. Yk и a+i, p+i- Yk+i - направляющие косинусы падающего и преломленного лучей; обозначим через х, Ук, Zk координаты точки пересечения луча с поверхностью к, отнесенные к центру кривизны; пусть - радиус кривизны к-й поверхности.

Угол падения i определяется из уравнения

cos i = а

к+1

Ук Гк

•"1 Гк Гк \ )



(0) (1) ( 2 ) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68)