Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) ( 21 ) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (21)

применение формул для аберраций третьего порядка к частным случаям

Простая, бесконечно тонкая линза. Теория аберраций хорошо применима в случае простых линз, если относительное отверстие последних невелико (например, не превышает Vg-V4) и если главный луч пересекает линзу на небольшой высоте (не более 0,25- 0,30 диаметра линзы).

Положим, что для линзы известны: ее фокусное расстояние /, показатель преломления п материала, из которого она изготовлена, и углы ttg и ttj, образуемые с осью первым вспомогательным лучом до преломления (в воздухе), после преломления (в стекле) и после второго преломления (в воздухе). Первый из этих углов «1 возьмем равным единице. Пусть расстояние от плоскости предмета до линзы равно s, расстояние от изображения до

линзы равно s. Линейное увеличение линзы (5 = . Правило

знаков для величин s изложено в гл. I (см. стр. 6). На основании гауссовой оптики имеем следующие соотношения:

s = /(l-P). (П.138)

Параметр h - высота пересечения первого вспомогательного луча с линзой - равен sa = s и одинаков для обеих поверхностей линзы. Соотношения между радиусами кривизны и параметрами а выражаются следующими уравнениями:

г, = S

л- 1

г, = S

п- I

(11.139)

Параметр связан с линейным увеличением р формулой Pag = I. Легко проверить, что радиусы кривизны и удовлетворяют известному равенству

«3 -

(11.140)

Выпишем выражения, входящие в состав сумм в формулах (11.57), применительно к данному случаю (для краткости введено обозначение v = -

Sr = 2(a,v-1)

«3 - «2

(ag-a.iv) =

03- 1

1 -V

[аз+ I-(I -v)a,};

(11.141)

S=(-)W-l) + (2f)(=, -.,v,=

«3 - 1 (1 - vf

а + аз+l-(2 + v)(a3+ l) аг + (2v + 1) a 2"?= 2]Aav = a.,v-l+a3 aaV = ag-l;

(11.142)

Остальные величины у я J, входящие в выражения сумм определяются следующим образом. Пусть л-- расстояние от линзы до входного зрачка. По условию принимаем ц, = х- J -= X ~ S, так как = а = I.

Таким образом, выражения сумм Зейделя, определяемых по формулам (11.57), принимают следующий вид:

Si = sP;

Sm =

Su = xP - (x - s) W; -P-2(x-s)4r + ((a3 i;

Sy = -P~3{x~s)(YW + ix~sr .

X(3 + v){a,-l),

(11.143)

[al + аз + 1 - (2 + v) (аз + ]) a, + (2v + l)c = T[«з+I-(l+v)a,].

Согласно формулам (11.47) аберрации для линзы можно написать в следующем виде:

• 2a36gr = coi ((ol + Ql) Si + {3o\ + Q?) ш,5„ +

+ OHwl [3Sui + (xi - sif S:y] + w\Sy; - 2a,8G = Ql (со? + Q?) + 2юlQlW,Sn + + Q,m)? [S,„ + (x, s,)5tv •

(11.144)



Для перевода угловых величин со, Q и да в линейные можно воспользоваться формулами

т, М, (П.145)

Формулы (11.143) и (11.144) пригодны только для конечных значений расстояния от предмета до линзы. Случай s = оо будет изучен особо. Рассмотрим сначала несколько частных случаев.

}. Предмет и изображение совпадают (s = 0). Этот случай встречается в коллективах, применяющихся в телескопических системах и служащих для отклонения главных лучей системы, т. е. центральных лучей наклонных пучков. Когда 5 = О, то ag =

«1, а следовательно, Р и W равны нулю. Нетрудно видеть, что Si = Sii =-= 0. В остальных суммах щ, Siy и Sy появляются

неопределенности типа , которые необходимо раскрыть. Когда s

стремится к нулю, «з стремится к единице, а отношение -

остается постоянным и равным -j- . Выражение для Sm в этом случае может быть написано в виде

"ih -

/(«3-1)

/(«3-1)

W + f.

Выражения для Р и W даны на стр. 129. В том случае, когда s стремится к нулю, Р н W принимают простой вид, так как ад - 1 и а, = v. Действительно,

-iP = 3- (2 + v)2v + (2v + l)v2 = (1 -у)ЦЗ + 2v); 117 = 2 -(1+v)v = (1 - v)(2 + v).

аз - 1

После всех подстановок получаем

= (3-f 2v)-2(2 + v)+ 1=0.

Таким образом, Sm равно нулю.

Пятая сумма Sy при s = О принимает вид

Sv--=4[P-3W + {3 + v)(a,~\)].

(l-v)(2 + v)+l =

Заменив Р и W нх выражениями через v, получаем Sv=- (a3-l)[(3 + 2v)-3(2 + v) + (3 + v)] = -(0)

-пользоваться

Обозначая через Sg,,, линейную дисторсию линзы, имеем

(11.146)

В нашем частном случае Л. = О - i „ гт,, .

У1 ~ произведения

S/QlA и /.Q3A L

равны нулю, так как Q. н Д - конечные величины. Единственная величина, которая, умноженная на Л, может дать нечто, отличное от нуля, это QQ - Д- , так как произведение hQ- конечно. Таким образом, получаем

цеисшар = 2 hQA 147)

где а и р - углы параксиальных вспомогательных лучей с осью.

Помня, что «1 = «3 = 1 и ао = V, получаем

bgducm

2 у, [ JylTy.-- (V-I) +

I (P3-P2)(l-V) 1

2 г/Л -)•

ДиуовТГигГ"" исключением pa-

Ввиду того, что



получаем окончательно

(11.148)

Так как Рз - Pi = -j-, последняя формула может быть написана в таком виде:

я f С +")Р2-р1-Рз \ (U 148*)

ИЛИ, выражая р через г и х, получаем

gducm =

(11.148**)

\], и дисторсией, определяе-

f \ ГП Л2

Как показывают формулы (11.148*) н (11.148**), дисторсия простой линзы, даже когда плоскости предмета и изображения сливаются, не равна нулю [кроме исключительного случая, когда (1 + п) р2 = Pi + Рз]. В результате последних вычислений можно прийти к следующим выводам: бесконечно тонкая линза, давая изображение при увеличении +1, т. е. при совпадении плоскостей предмета и изображения, обладает только двумя аберрациями: кривизной поля, обусловленной тем, что четвертая

сумма 5[v отлична от нуля I Sy =

мой формулой (11.148**).

Все остальные аберрации равны нулю.

2. Предмет и изображение находятся на близком расстоянии. Пусть имеется бесконечно тонкий компонент, заднее фокусное расстояние которого равно /; s и s - расстояния от линзы до предмета и до изображения; а и а - углы, образованные лучом с осью до и после преломления. Обозначи.м линейное увеличение компонента через р и положим -4==- = Р = 1+ е. Предположим, что 8 мало. Напомним выражения для коэффициентов аберраций третьего порядка системы бесконечно тонких компонентов, находящихся в воздухе:

S, = Ц /г,Рг,

J = tti/i = aI;

у I = .v,.p,- = xir, hi = Siai = s-a-;

tt; и P; - углы вспомогательных лучей с осью.

По мередого как увеличение р линзы приближается к единице, величины Pi, Wi, hi приближаются к нулю, выражения для Si и S[i стремятся к нулю, а для 8щ и Sy становятся неопределенными. Чтобы раскрыть неопределенность, необходимо вместо величин Pi и Wi ввести основные параметры Р,- и W;, вычисленные по тем же формулам, что и Pi и Wi, но в предположении, что а = 0; а = 1.

Существуют соотношения (см. гл. III, стр. 254), связывающие Pi и Ui с Pj и W;. Выразим а через а и е:

а = а(1+е); 1

(11.149)

а -а = - еа ,

откуда h = f (а - а) = -еа/.

Подставим выражения (П. 149) в упомянутые соотношения. Получаем

р = а [-(3 + 2л) е + (4W - 7 - 4л) +

+ ( р + 4\¥-4-2л)е«]; (II.I50)

\i7 = aM-(2 + л)8 + (\У -2-л)е2].

Входной зрачок обычно находится далеко от линзы, поэтому с достаточной степенью точности можно считать л: = оо. Положим

р = 1 и а = 1. Тогда у = f; / = (1 + е)/; Ф = .

Если принять во внимание малость величины е и удержать в разложениях только член, содержащий е в низшей степени, то получаем для одного компонента

S, = (3 + 2п)е2/; 5„ = -(1 + я)е/; S,„ = (l-2W)e/; \ (11.151)

PSi = fn; Sy = (W-l)r.

На основании этих формул можно сделать следующие выводы. 1. Сферическая аберрация пропорциональна второй степени е и практически отсутствует.



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) ( 21 ) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68)