Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) ( 22 ) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (22)

2. Поскольку величина л у большинства тонких компонентов мало отличается от 0,65 и может считаться постоянной, кома зависит только от расстояния предмета до линзы и не зависит от формы линзы.

3. Астигматизм рассматриваемых систем пропорционален первой степени е и зависит от формы линзы; при W = 0,5 астигматизм компонента неправлен.

4. Дисторсия, вызываемая тонким компонентом, зависит от формы линзы и Е первом приблил<енин не зависит от е, т. е. ей может быть сообщено любое значение даже при е = 0.

3. Линза дает изображение при увеличении - /. Тогда s = = -2/; ttj -= 1,0; a., =- -1. В этом случае имеем следующие выражения для Я, W, Аа.\, П:

(1-W =

1 + (2v-f \)a.i 1 + v) a;

1 -V

S Aav = - 2; Iln = -2v.

По формулам (11.143) получаем следующие выражения сумм:

(11.152)

(1 - Л)

Si и = -

1 -f (2v+ 1)а2

1 +(2v+ l)cto];

2(2/ +x,)

(1 +v)a,;

(II.153)

4/"Sv = x\P - 3x1 (x, + 2/) W ~ 2хг {x, + 2ff (3 + v). j Вырал<ения для сумм принимают особенно простой вид в том практически важном случае, когда Xj = О, т. е. когда отверстие линзы СЛУЖИТ входным зрачком. Тогда

S, =

(1-V)

Sn =

--11 + (2v+ l)al (1 + v)a.j;

1 -V

S„,=4/; •Jiv - jr, Sv-0

(11.154)

и для поперечных аберраций 8g и 8G по формуле (11.47) получаем

[ -(2v+ 1) al

- = со, (со? + Q?)

2/ - - -/ - {Зю\ + Ql) w,l±l «2 + Щ1С>1 (3 + V);

1 +(2v+l)a2

(1 -v)-

-2coiQ,i-j- a2+ Q,t£?(l + v).

(11.155)

Наилучшие результаты получаются при а., == 0. Тогда кома исчезает, остаются некоторый минимум сферической аберрации, кривизна поля и астигматизм. Последние две аберрации не зависят от формы линзы, т. е. от а.,.

4. Случай, когда предмет на бесконечности (s === оо). Нужно исходить из формул (11.57) и (11.142), причем ад = 1; ai = 0. Получаем для сумм . . ., Sy следующие выражения:

S, = Лх I] Р - Я;

Sn = уР + W; Sni=yP + 2yW+l; S[v = v; SyyP + 3yW + yi3 + v);

1 -(2 + v)a2 + (2v+ l)cc:i

(1 - V)2

w =

[1 ~(1 +v)cc.,l.

(II.156)

Особый интерес представляет случай, когда ~ О, т. е. зрачок входа совпадает с линзой. Тогда Si = р; Зц = w; Зщ ==- 1; S[v = v; Sy = 0. От формы линзы, т. е. от значения ао, зависят только сферическая аберрация и кома. Остальные аберрации зависят только от фокусного расстояния линзы, ее отверстия и положения рассматриваемой точки в плоскости предмета.

Пример 1. Плоско-выпуклая линза, обращенная выпуклостью к предмету, снабженная диафрагмой, находящейся на расстоянии 50 мм впереди нее, дает изображение бесконечно удаленной точки, расположенной на линии, образующей угол - Ю"* с оптической осью. Фокусное расстояние линзы 100 мм, отверстие - 20 мм, показатель преломления п = 1,5. Определить аберрации линзы.

В этом случае поперечная сферическая аберрация определяется с большой точностью членом третьего порядка, так как члены



высших порядков очень малы. Из формулы (И.139) следует, что для плоско-выпуклой линзы, когда Га - оо.

Применяя формулы (11.47) и (11.156), находим (35,1, + Siv) + F w\Sv (ввиду того, что coi = у;) ;

5 2

3 3

1 - (2 + v)a2 + (2v+ 1)а2

1-4-4- +

= = 2,33.

Х"3 \ 3 V 9 Вычисляем суммы Sj, Sn, • • •, S:

(11.157)

5v =

3 1 1

- + (3

= - 2,37.

3 4 3

Для отдельных членов поперечной аберрации по формулам (11.157) находим

Лгг Р = -i42,33 = -0,116

2-100 3 10

3 mj

бкола = ~" ~2~ "f iSl, = -у "Too

0,174-1,5 = +0,392

6&.p..p«. = --?(3S,„ + S,v) = li 0,174(3-1,92) + 0,67] = - 0,151.6,4 = -0,97 мм;

bgeucm = -F Sv = - 0,265.2,37 = - 0,63 мм.

Интересно вычислить продольную величину астигматизма. Она равна поперечной, деленной на выходной апертурный угол системы, т. е. на сор -у- Поперечная величина астигматизма

-miwiSnu

продольная величина

- FwlSin = - 100-0,1742.1,92 = - 5,8 мм.

Пример 2. Определить дисторсию плоско-выпуклого коллектива с фокусным расстоянием 100 мм из стекла с показателем преломления « = 1,5 в случае, когда изображение точки находится на поверхности коллектива на расстоянии 15 мм от оси; увеличение в зрачках равно - 1.

Определяем г/. Полагаем = 1; = -2f, так как увеличение в зрачках равно -1. Таким образом, = xPi = -2f = = -200. Определяем Pg и Рз. Первая поверхность плоская, следовательно, Ра = 0,667; Рз = -Pj = -1, так как увеличение в зрачках равно -1.

Применяя формулу (11.148*), получае.м

gducm == -

153 (2,5-0,667) + 1 - 1

2 200-100

= - 0,28 мм;

тригонометрический контроль дал -0,29 мм.

Влияние формы простой линзы на величины Р п W. Оптические элементы всякой оптической системы, и в частности простой линзы, могут быть разделены на две группы: а) «внешние» элементы, как-то: фокусное расстояние, отверстие, увеличение при заданном положении предмета или изображения; б) «внутренние» элементы, определяющие конструкцию системы, а именно: радиусы кривизны отдельных поверхностей, толщины линз, расстояния между линзами, показатели преломления отдельных сред. В простой линзе к первой группе элементов относятся фокусное расстояние f и расстояние до предмета s, а также линейное увеличение р =

г s „

= -у-= - ; ко второй - параметры, вполне определяющие

конструктивные элементы системы, т. е. n и а. Действительно, по данному «2 и известным из первой группы элементам Д и «з можно вычислить радиусы кривизны поверхностей линзы; толщина ее принимается равной нулю, и система вполне определена. При заданном значении f параметр влияет только на форму линзы. Рассмотрим зависимость параметров Р и от а. Величина

1 - V

[аз + 1 - (1 + v)a2].



определяемая по формуле на стр. 128, линейна относительно а, и может принять любое наперед заданное значение. Она равна нулю при

«3+ 1

а., =

1 + V

Величина

+ «3 + I - (2 + V) (аз + о а2 + (2v + 1)а2

второй степени относительно и может принять любые большие значения, но имеет некоторый минимум, ниже которого она не может опускаться. Значение этого мпнимума зависит от ад и от v. Для практических приложений важно знать, когда величина Р может обратиться в нуль, так как только в этих случаях сферическая аберрация может быть вполне устранена. Условие, при котором выражение для Р имеет вещественные корни, может быть написано в виде

(2 + v)(a3-l- 1)]-4(а + аз+ l)(2v+ l)=sO (II. 158) 4)(аГг- 1) + (4 + 2v)a3=2:0.

Это условие приводит к тому, что для каждого значения v величина ад должна находиться менаду некоторыми определенными пределами. Неравенство (11.158) может быть переписано в виде

4 + 2v2

Положим для краткости

• 2 н- у (4 - V) V

аз + 1 < 0.

= т,

(11.159)

где т - положительная величина. Неравенство (11.159) принимает вид

аз - 2таз + 1

и удовлетворяется, когда ад лежит между пределами fn - Yrf\ и m + ym-l.

Результаты вычисления т для различных значений показателя преломления п даны в табл. П.З; там же указаны те пределы значений ад, при которых Р может обратиться в нуль.

Таблица показывает, что чем больше показатель, тем шире пределы изменения для ад, т. е. те области для s и s, для которых может быть исправлена сферическая аберрация. Как правило, последняя может быть исправлена только при увеличениях, близких к единице, т. е. при слабом действии линзы.

Таблица 11.3

Нижний предел

Верхний предел

1,100

0,458

0,642

1,558

1,133

0,533

0,600

1,667

1,169

0,605

0,564

1,774

Апланатические точки преломляющей поверхности. В случае одной преломляющей поверхности сферическая аберрация и кома пропорциональны соответственно величинам S, и Si,, значения которых в этом случае согласно формулам (11.57) таковы:

5i=A(-/(«V-av); Sn = (-;)\aV-av)-/

а - ос

V - V

(av - av).

Обе суммы обращаются одновременно в нуль, когда один из множителей а-а или av-av равен нулю. Первый случай не представляет интереса, так как луч проходит без преломления; во втором случае av = av. Положение точек, для которых имеет место условие одновременного уничтожения сферической аберрации и комы, может быть определено, если к полученному уравнению прибавить еще следующее уравнение преломления:

ап - an = (« - п).

Исключая а из первого уравнения и внося его значение во

а ~-г4-,. Расстояния со-

второе, получаем а = -f

г п-]- п

пряженных точек S и S, для которых соблюдены поставленные выше условия, равны s = -; s = , или

s = г-

п -\- п п

(11.160)

Эти точки носят название апланатических точек сферической преломляющей поверхности. Они находят применение в расчетах объективов микроскопа.

Другие применения теории аберраций третьего порядка будут рассмотрены ниже в связи с расчетом различных оптических систем.

Афокальный мениск конечной толщины. До сих пор рассматривались аберрации бесконечно тонких линз. Однако бывают случаи, когда линзы, хотя и афокальны, обладают аберрацией



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) ( 22 ) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68)