Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) ( 23 ) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (23)

вследствие того, что при малых радиусах кривизны поверхностей даже небольшая толщина, нарушая равенство высот = /г,, вызывает появление отличного от нуля коэффициента сферической аберрации.

Обозначим через [6g] угловую сферическую аберрацию менисковой афокальной линзы (рис. 11.34) с радиусами и г2,

толщиной d и показателем преломления и = - для луча, па-

раллельного оси, пересекающего

.---г i-hi мениск на высоте гп; выражая

через и помня, что = hi - --- -daa, можно, пользуясь формулой (11.45) для случая двух поверхностей, получить

РИС. 11.34 [6g]=-l-()fv(I-v)l

(11.161)

Аберрация положительна при любо.м значении г.

Мениск усугубляет сферическую аберрацию простой положительной линзы. Так как всякую линзу конечной толщины можно рассматривать как состоящую из мениска и бесконечно тонкой линзы, то из формулы (11.161) вытекает, что увеличение толщины линзы увеличивает значение коэффициента сферической аберрации.

Коррекцнонные мениски будут рассмотрены во второй части книги.

Аберрации высших порядков

Теория аберраций третьего порядка дает только первое приближение в расчете координат пересечения различных лучей с плоскостью изображения. Можно получить более точную картину расположения точек пересечения, если в разложении эйконала по степеням малых величин у, z, т и М взять следующие члены более высокого порядка (под т и М следует понимать координаты точек пересечения луча не с плоскостью выходного зрачка, а со сферой Шварцшильда, центр которой находится на оси в плоскости изображения, а вершина - в плоскости выходного зрачка). Такая работа была выполнена Кольшюттером [5] для аберраций пятого порядка. Число независимых аберраций пятого порядка равно девяти. Существует четырнадцать аберраций седьмого порядка и двадцать - девятого порядка и вообще И + ) аберраций порядка t. Последнее число определяется так. На стр. 60 было показано, что эйконал для оптических систем, имеющих ось симметрии, является функцией только трех величин R, Rp и и, связанных с координатами луча следующим образом:

R = y + z2; Rp = т + М; и = ут + zM.

Для вычисления аберраций t-vo порядка нужно брать производные по т и М от всех членов порядка + 1, которые получаются в разложении эйконала N по степеням координат луча. Так как величины R, Rp и и, от которых зависят члены разложения эйконала, второго порядка малости по отношению к координатам луча у, Z, т и М, то надо найти такое число произведений степени -2-> которое можно составить из величин R, Rp и и; это (t -i 3) It -f 5)

число равно---. Из этого числа нужно вычесть число

членов, не зависящих ни от т, ни от М, так как последние аберраций не дают, как это видно из формулы (11.10). Таких членов, содержащих только R=y + z, может быть только один. Разность

(t + 3) ( + 5) , (t+\)(t + 7) 8 " 8

И есть искомое число.

Рассмотрим особо аберрации пятого порядка. Разложение эйконала по степеням R, Rp и и дает следующие члены третьего порядка малости относительно переменных и шестого порядка относительно координат у, z, т и М:

Л< = йоР + aiRRp + йгР" + aRl + aRR +

+ asRlu + «6" + ujUR + OsURp + aRRpU.

Формулы (11.10) дают для величины поперечных аберраций пятого порядка (с точностью до постоянного множителя)

у - у dN dN dRp ,

пропорциональное

dN du dN

du dm

6G пропорциональное

dRp г - г

dm 2m +

dRn dm

dN dN

s du dN г)лл, .

dRp dM

(11.162)

du д.М dRp du

Желая получить только общий вид аберраций пятого порядка, а не численные значения коэффициентов Oj, flg, . . ., g, можно заменить такие величины, как у я z, соответственно величинами / и О, им пропорциональными, после чего получить, обозначая через 1. t>2, . . ., 69 коэффициенты, соответственно пропорциональные

8g = 2b,ml + 663m (m2 + MY + 4bjbn (m + M) + + 4b,lm- (m2 + M) + 2b,lm + 2b,lm + b4 + + 65/ (m2 + Mf + 3b,lm + 26/m Л-+ гбРт (m2 + M2) -f. 6g/8 (m2 + M"").



Аналогично для 6(3 получаем 6G = 26iM/* + 663М (m2 + М2)2 + 464/2М (m" + М) +

+ 4б5Мт/ (т2 + М2) + 2Ь1т + 2Ь,1тМ.

Располагая члены выражений по возрастающим степеням I, получаем

6 = 663т (т2 + MY + (m2 + Л12) (5m2 + Л!) / + + [464m (m2 + Л12) + 2б8т (2m2 + М)] + , + [b, (Зт + М2) + ЗЬ.тЦ 1 + 2 (б + 6,) mi* + 6,/; (Ц. 163) 6G = ббдМ + Л12)2 + 4&5 + М) Мт1 + + (464М (т2 + Л12) + 2ЬтШ] Р + 2ЬтМ1 + 2ЬМ1\

При переходе от одной преломляющей поверхности к системе из нескольких преломляющих поверхностей общий вид уравнений не меняется, хотя сами коэффициенты не могут быть получены таким же простым способом, как для случая аберраций третьего порядка. Для характеристики аберраций пятого порядка удобно поступить так же, как и в случае аберраций третьего порядка: приравнивая последовательно все коэффициенты разложения, кроме одного, нулю, изучать распределение точек пересечения с плоскостью изображения лучей, соответствующих определенным кривым на выходном зрачке, например окружностям с центром на оси системы. С этой целью полагаем

т = poos8; М = psinO,

где р - радиус окружности, через которую проходят лучи, пересекая выходной зрачок; 8 - угол между радиусом-вектором, идущим из центра зрачка на рассматриваемую точку пересечения, и меридиональной плоскостью.

Все девять аберраций родственны аберрациям третьего порядка, и это отражается в названиях аберраций.

1. Сферическая аберрация пятого порядка определяется уравнениями

6g = ббзрз cos 9; 6G = 66зр5 Sin 0.

(П.164)

При постоянном р получаются окружности. Если последовательные значения р образуют арифметическую прогрессию 0,0; 0,2; 0,4;. . .; 1, то соответствующие им окружности в плоскости изображения концентричны с очень быстро возрастающими диаметрами, которые соответственно пропорциональны величинам 0; 0,0003; 0,0100; 0,077; 0,328. Вследствие этого получается весьма быстрое рассеяние энергии по мере удаления от центра изображения.

2. Кома высшего порядка по отверстию определяется уравнениями

6g = 65 (m2 + М2) (5m2 + М2) / = бр* (3 + 2 cos 29) /; 6G = 465 (m2 + М2) mMl = бр* (2 sin 20) /

(11.165)

и, как кома третьего порядка, дает окружности, но центры их в меридиональной плоскости удалены от точки пересечения главного луча на расстояния, пропорциональные не второй, а четвертой степени радиуса окружности р. Угол огибающих, также прямых, с осью равен 41,8°. Картина напоминает кому третьего порядка, но рассеивание лучей гораздо сильнее по мере удаления от гауссова изображения.

3. Сферическая аберрация высшего порядка для каждой точки изображения дает gQ точно такую же картину, как сферическая аберрация третьего порядка, но отличается от аберрации третьего порядка тем, что в точке с координатой / = О она отсутствует и быстро растет пропорционально квадрату /, как это видно из уравнений

6g = 46,m +

6G = 46,Л1 (m2 + Л12) 1\ Р

4. Кривизна высшего порядка также зависит от но кривые рассеяния не окружности, как в случае аберраций третьего порядка, а крылоподобные кривые (рис. 11.35), которые легко могут быть получены из следующих уравнений:

Рис. 11.35

6g = 2Ьпг (2т2 + М) Р = 2Ь,р cos О (1 + cos 9) Р; 6G = 2ЬаттМР = 2Ь»р cos 9 sin QP.

(11.167)

Если придавать 9 все значения от О до 2ji, то точка пересечения луча пробегает всю кривую (при положительном 6) сначала по верхней петле, потом описывает зеркальное отражение верхней петли от горизонтальной оси. Кроме формы фигур, соответствую-щи}{ постоянному значению р, имеется еще одно существенное отличие рассматриваемой аберрации от кривизны третьего порядка: быстрое рассеяние света по мере удаления от центра вместо равномерного распределения.

5. Кома высшего порядка по полю, определяемая уравнениями

5g = Ь,{Зт + М)Р; 6G = 2ЬдтМР,

(11.168)



отличается от комы третьего порядка только тем, что размеры картины, даваемой ею, зависят от куба, а не от первой степени I. При заданном / боковая кома пятого порядка добавляет свой эффект к коме третьего порядка, не меняя вида и распределения кривых, а меняя только размеры.

6. Дисторсия высшего порядка (по отверстию) определяется уравнениями

8g = ЗЬ,тЧ; бС =0 (П. 169)

и дает прямую линию, длина которой пропорциональна квадрату т.

7. Боковая кривизна и астигматизм высшего порядка, определяемые уравнениями

6g = 2{bi + b,)ml\ 6G = 2biMl\ (11.170)

отличаются от кривизны и астигматизма третьего порядка только тем, что они зависят не от квадрата /, а от характер картины при постоянном / одинаков для обеих аберраций.

8. Дисторсия высшего порядка по наклону («боковая»), определяемая уравнениями

6g = bl; 6G =0, (11.171)

отличается от дисторсии третьего порядка только тем, что она пропорциональна пятой степени I.

Следует еще раз обратить внимание на то обстоятельство, что в действительности перечисленные аберрации в чистом виде не встречаются; имеет место общее уравнение (П. 163), к которому нужно прибавить выражения аберраций третьего порядка и аберраций более высоких порядков; последние всегда более или менее искажают своим присутствием влияние аберраций третьего и пятого порядков. Истинные кривые распределения лучей в плоскости изображения имеют на самом деле очень сложный вид, о котором не могут дать понятие кривые отдельных аберраций; этот вид очень быстро меняется с изменением положения точки (1) и отверстия системы (р).

Коэффициенты bl, b, . . ., bg аберраций пятого порядка так сложны, что их нет смысла вычислять по выведенным для них формулам [5]. Такое вычисление тем более бесполезно в тех случаях, когда величины аберраций пятого порядка становятся значительными, так как при этом неизменно обнаруживается также и влияние аберраций более высокого порядка, вычисление которых с помощью формул разложения практически невозможно.

Помимо диссертации Кольшюттера [5] формулы для вычисления сферической аберрации пятого порядка можно найти в книге Рора [6].

Г. Д. Рабинович [7] предложил более удобные формулы для вычисления сферической аберрации и отступления от отношения синусов. Приводим эти формулы без доказательства.

Положим

As = az + 6г1; ц = аг -f biz\

z = Sin и (У Y = Sin и f М i" ЧУ

\ а sin и ) " \ hys sin и ) sm« ,

Aslii = az; Asv = bz\ гщ, = az; = bz; As = Asiii+Asv-f •• •; ri = гцп + riv-f •

Вводим вспомогательные величины 1 Aav

и уже многократно применяемые величины

I Да \ 1

и, кроме того.

= - (av+l + а\ -f С0;2 (д2 2 щ2 у;,.

APv Да,,

(=1 (=1

Cv =

J = na{x~s);

Ci =

Окончательно имеем для сферической аберрации и отступления от отношения синусов третьего и пятого порядков следующие выражения:

As;„ = -4--0S%,P,;

2 na

Да,,

Asv = -

3 z



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) ( 23 ) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68)